2022-2023学年高二物理竞赛课件：Hamilton canonic equation的首次积分

Hamilton canonic equation的首次积分 Hamilton canonic equation的首次积分 系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论Hamilton canonic equation的降阶降维问题 能量积分 循环积分 H 中不显含某些广义动量的情况 2 例 、水平直管以匀角速度  绕铅直轴旋转。管内放有用弹簧相联的两相同质量 m 的小球。小球可沿直管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为 k ，原长为 l ，试写出系统的Hamilton正则方程。小球尺寸略去不计。 解：两个自由度，x1、x2为广义坐标，主动力均为有势力 构造H函数 则 3 Hamilton正则方程 给定初始条件 后，就可得出正则变量 的函数 4 如果Hamilton函数 ，即不显含 t 时，则 可得 则 （常数） 因为 所以 Hamilton canonic equation的能量积分 如果是保守系统，则T＝T2，T0＝0 则 即Hamilton equation的首次积分等于总机械能（机械守恒） 5 由 H 函数定义 对某一广义坐标 ql 求偏导数 代入 （勒让德变换，或定义广义动量），得 因此，如果在Lagrange函数中存在某个循环坐标ql，则在Hamilton函数中也存在相同的循环坐标ql。 设q1, q2,…, ql ( l<k )为Lagrange函数L的循环坐标，则H函数可表示为 6 根据正则方程有 于是得 l 个循环积分 利用循环坐标可对Hamilton正则方程进行降维，将上式代入Hamilton函数得 此时Hamilton正则方程为 对于循环坐标，有 即对 H 求 pj 偏导，后将 pj 用 Cj 代替 7 积分上式，得: 为积分常数。 降为 ( j =l+1, l+2,…, k ) 若系统有 l 个循环坐标，则Hamilton正则方程的个数由2k个降为2(k-l)个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越多，对于方程的求解就越有利。 8 设p1, p2,…, pl ( l < k )不显含在 H 中，则Hamilton函数可表示为 则 方程故由 k 个减少到 k-l 个。 H函数化为 9 （ 方程个数由 k 个，减少为 k-l 个） 故共降维2l ，即方程个数减少为2( k-l )个。 10 例3 、空心圆管OA绕铅垂轴O在水平面内转动。它对O轴的转动惯量J0=md2，质量为m的质点M在圆管内运动，设质点受引力Fr= -μm/r2，式中 r 是质点到转轴O点的矢径，μ是常数。试列出系统的Hamilton正则方程并求首次积分。 解：系统有两个自由度，选r、φ为广义坐标，系统的动能 取无穷远处为零势能点，势能 而 11 广义动量 求Hamilton函数，因为系统为保守的，故 由上式可知，φ为循环坐标，则存在循环积分，即广义动量守恒 12 pφ= 常数 又 则 存在广义能量积分 即 T +V = 常数 13 $