2022-2023学年高二物理竞赛课件：泊松括号 泊松定理

泊松括号 泊松定理 利用泊松方法，从已求出的首次积分中寻找新的首次积分 泊松括号 用泊松括号表示的正则方程 泊松定理（雅可比-泊松定理） 1 泊松括号 设、ψ是q1, q2, …, qk, p1, p2,…, pk, t 的函数，即 则泊松括号定义为 泊松括号的性质 ( 1 ) 常数 C 与任意函数  所组成的泊松括号为零，即 证： 2 泊松括号 ( 2 ) 两个相同函数所组成的泊松括号为零，即 ( 3 ) 组成泊松括号的两个函数交换顺序，则与原来的差一个符号。即 证： ( 4 ) 3 泊松括号 ( 5 ) 证: ( 6 ) 若 则 证: 4 证: ( 7 ) 泊松括号服从代数分配，即 ( 8 ) 泊松括号 5 证: ( 9 ) 泊松括号 6 证: ( 10 ) 如果θ = θ ( qj, pj, t ) ( j = 1, 2,…, k )，则有泊松恒等式和雅可比恒等式 , 轮换 可得到类似式，从而得证。 泊松括号 7 用泊松括号表示的正则方程 根据泊松括号的定义，有 其中 因此 同理可得 对一完整系统受有势力作用时，其正则方程为: 于是就可得到用泊松括号表示的正则方程为: 8 用泊松括号判断系统的首次积分 设系统的首次积分为 则有 首次积分应为正则的一个解，式中 ， 应均满足正则方程，即 将正则方程代入上式df /dt 用泊松括号表示的正则方程 9 利用泊松括号，则上式可写成 此式即为正则方程的首次积分所应满足的充要条件。 如果 f 不显含时间 t ，则 即如函数 f 满足泊松括号条件，则函数即为正则方程的首次积分 用泊松括号表示的正则方程 10 例4 质量为 m 的质点 M 在稳定的势力场中运动，其势能函数为V=V( x,y,z )，试求它对质直角坐标轴Oxyz 的三轴的动量矩Lx、Ly,、Lz与Hamilton函数 H 所构成的泊松括号：( Lx, H ) , ( Ly, H ) , ( Lz, H )。 解：取x, y, z为广义坐标，因为是保守系统，Hamilton函数 系统动能 势能 所以 广义动量（勒让德变换）: 则 从而 用泊松括号表示的正则方程 11 $