2.2.3 因式分解法（2）课件 2022-2023学年湘教版九年级数学上册

2.2.3 因式分解法(2) 湘教版 九年级上 教学目标 1. 理解配方法、公式法和因式分解法各自的特点. 2. 能根据方程特点灵活选用解一元二次方程的方法. 3. 锻炼多角度分析方程模型的能力,培养思维灵活性. 新知导入 你能简单地说明我们学过的一元二次方程的几种解法吗? 配方法 加上一次项系数的一半的平方并减去这个数.通过开平方“降次”把原方程转化为两个一元一次方程来解. 因式分解法 通过移项使方程右边为0,并对方程左边因式分解,利用因式的积等于0的性质,把原方程转化为两个一元一次方程来解. 公式法 利用求根公式 . 我们已经学过了配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程,这些方法各有优点和不足,因此,在具体的问题中,我们要根据方程的特点,选择合适的方法来求解. 新知导入 新知讲解 下列方程用哪种方法求解较简便?说说你的理由. (1)x²-4x=0; (2)2x²+4x-3=0; (3)x²+6x+9=16. 对于方程(1)x²-4x=0,方程右边是0,左边两项有公因式x,因此用因式分解法求解较简便. (1)x²-4x=0; (2)2x²+4x-3=0; (3)x²+6x+9=16. 对于方程(2)2x²+4x-3=0,方程右边是0,左边多项式的每一项没有公因式,且不符合平方差公式、完全平方公式的特征,不能直接采用因式分解法,因此用公式法求解较简便. 对于方程(3)x²+6x+9=16,方程左边是一个完全平方式,右边是常数,因此采用直接开平方法,或先移项使方程右边为0、再用因式分解求解较简便. 新知讲解 例9 选择合适的方法解下列方程: (1)x²+3x=0; (2)5x²-4x-1=0; (3)x²+2x-3=0. 解 (1)将方程左边因式分解,得 由此得 解得 x(x+3)=0. x=0或x+3=0. x₁=0,x₂=-3. 例题讲解 (2)5x²-4x-1=0 这里a=5,b=-4,c=-1. 因此 b²-4ac=(-4)²-4×5×(-1)=16+20=36>0. 所以 因此,原方程的根为 例题讲解 (3)x²+2x-3=0. (3)原方程可化为 即 由此得 x²+2x+1-4=0. x+1=2或x+1=-2. (x+1)²=4. 解得 x₁=1,x₂=-3. 例题讲解 新知讲解 如何选择合适的方法来解一元二次方程呢? 公式法适用于所有一元二次方程,但计算较多且易出错. 新知讲解 配方法是为了推导出求根公式,以及先配方,然后用因式分解法. 因式分解法适用于所有一元二次方程(有时需配方),一般首先考虑是否选用. 总之,解一元二次方程的基本思路是:将一元二次方程转化为两个一元一次方程,即“降次”,其本质是把方程ax²+bx+c=0(a≠0)的左边分解成两个一次多项式的乘积.即ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂),其中x₁,x₂是方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根. 新知讲解 巩固练习 1. 解方程(x+2)²=3x+6,最适合的方法是( ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 D 解析 原方程可化为(x+2)-3(x+2)=2. 显然最适合因式分解法,故选D. 2. 解方程4x²+12x+9=25,最适合的方法是( ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 A 解析 原方程左边是一个完全平方式,最适合用直接开平方法求解. 故选A. 巩固练习 3. 解方程4x²+7x=2,最适合的方法是( ) A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 C 解析 把原方程化成一般形式,从各项的系数看,配方比较复杂,因此最适合用公式法求解. 故选C. 巩固练习 课堂总结 解一元二次方程有哪些方法? 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. 解一元二次方程的基本思路是什么? 降次,即把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.可以根据平方根的意义进行转化,也可以通过因式分解法进行转化. 如何选择最适合的方法解一元二次方程? 先考虑直接开平方法,再考虑因式分解法,最后考虑公式法. 作业布置 选择合适的方法解下列方程: (1) 3x²-4x=2x; (2) =1; (3) x²+x=0; (4) x(x-6)=2(x-8); (5) (x+1) (x-1)=; (6) x(x+8)=25; (7) (x+2) (x-5)=1; (8) (2x+1)²=2(2x+1). 作业指导 (1) 3x²-4x=2x. 解 移项,系数化为1,得 把方程左边因式分解,得 由此得 x²-2x=0. x=0或x-2=0. x(x-2)=0. 解得 x₁=0,x₂=2. 作业指导 解 方程两边同乘3,得 根据平方根的意义,得 (x+3)²=3. x+3=或x+3=.