2022-2023学年高二物理竞赛课件：波函数 薛定谔方程

波函数及其统计诠释 薛定谔方程 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 得到描写自由粒子的平面波波函数： 利用关系 用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。 机械波 或 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 一、物质波函数及其统计诠释 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明 物质波的强度大 光强度大 光波振幅平方大 （波动观点） 光子在该处出现 的概率大 （微粒观点） 波函数振幅的平方大 单个粒子在该处出现的概率大 （波动观点） （微粒观点） 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方。 在空间一很小区域（以体积元dV=dxdydz表征）出现粒子的概率为： 及单值、连续、有限等标准化条件 波函数还须满足： 归一化条件 称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 解:（1）由归一化条件得: （2）粒子的概率密度为： 试求：（1）常数A； （2）粒子在0到a/2区域出现的概率； （3）粒子在何处出现的概率最大？ 例题13-8 作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。已知其波函数为 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 在 0<x<a/2 区域内，粒子出现的概率为： （3）概率最大的位置应满足 因 0<x<a/2 ，故得 粒子出现的概率最大。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程，称为薛定谔方程。 二、薛定谔方程 1、自由粒子的薛定谔方程 自由粒子平面波函数方程 对 x 取二阶偏导数 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 对 t 取一阶偏导数 由于 可得 一维自由粒子含时的薛定谔方程 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 2、在势场中粒子的薛定谔方程 势场中粒子的总能量 则可得 一维运动粒子含时薛定谔方程 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 质量为m 的粒子在势能为 的外力场中运动，含时薛定谔方程为： 拉普拉斯算符 一般的薛定谔方程 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 用分离变量法： 代入薛定谔方程，采用分离变量，得到: 3、定态薛定谔方程 讨论势能函数与时间无关的情形，即 此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 11 令等式两端等于同一常数 定态薛定谔方程 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 $