2022-2023学年高二物理竞赛课件：一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程的应用 若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。 为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。 一维无限深势阱： 一维定态薛定谔方程的应用 一、一维无限深势阱 a   上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 势能不显含时间，而且分段，用薛定谔方程求解 时分为势阱内外分别进行 a   势阱外，定态薛定谔方程 由条件 而E为有限值 2 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 保守力与势能之间的关系： 在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱，即粒子在势阱外的概率为0。 势阱内的一维定态薛定谔方程为： 解为： 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 4 由边界条件得： 据归一化条件，得 得波函数表达式： 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 （1）粒子能量不能取连续值 得 能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。 由 讨论： 波函数 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 （2）粒子的最小能量不等于零 最小能量 也称为基态能或零点能。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 不受外力的粒子在 0 到 a 范围内 出现概率处处相等。 量子论观点： 0 a =1 =2 =3 =4 n n n n 0 a 当 很大时， 量子概率分布就接近经典分布 经典观点： 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 （4）有限深势阱，粒子出现的概率分布 如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。 0 a 经典理论无法解释，实验得到证实。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 得到两相邻能级的能量差 例题13-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两种情况下，相邻能级的能量差。 解：根据势阱中的能量公式 可见，两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。 当a=10-10m时 在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。 当a=1cm时 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 当n>>1 时，能级的相对间隔近似为 可见能级的相对间隔 随着n的增加成反比地减小。 要小的多。这时，能量的量子 较之 当 时 ， 化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量 子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中 时的极限情况。 量子数 上页 下页 返回 退出 上页 下页 返回 退出 $