高考大题研究课一利用导数研究不等式恒(能成立问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课一　 利用导数研究不等式恒(能)成立问题 题型一　分离参数求参数范围 例 1 [2023·河北唐山模拟]已知函数f(x)＝ex＋3ax. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若函数f(x)≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝ex＋3ax，x∈R，所以f′(x)＝ex＋3a， ①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在R上单调递增； ②当a<0时，f′(x)＝ex＋3a， 令f′(x)＝0，解得x＝ln (－3a)， 所以x∈(－∞，ln (－3a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减； x∈(ln (－3a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增； 当a<0时，f(x)在(－∞，ln (－3a))上单调递减，在(ln (－3a)，＋∞)上单调递增． (2)由题意知，ex＋3ax≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 即a≥－在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以a≥(－)max，x>0， 设g(x)＝－，则g′(x)＝＝， 当0<x<1，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当1<x，g′(x)<0，g(x)单调递减； 故g(x)max＝g(1)＝－，所以a≥－. 题后师说 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 巩固训练1 [2023·河南荥阳模拟]已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a∈R)． (1)求f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)若对于任意的x∈[，e]，都有2f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝f′(e)＝2，f(e)＝e. 所以f(x)在(e，f(e))处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e. (2)若2f(x)≥g(x)对任意的x∈[，e]恒成立，则2x ln x≥－x2＋ax－3对任意的x∈[，e]恒成立， 即a≤2ln x＋x＋对任意的x∈[，e]恒成立， 令h(x)＝2ln x＋x＋，x∈[，e]，只需满足，x∈[，e]， 又h′(x)＝＋1－＝， 因为x∈[，e]，所以由h′(x)＝0得x＝1， 当<x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 当1<x<e时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x＝1时函数h(x)取得极小值即为最小值，即＝h(1)＝4，所以a≤4. 题型二　等价转化法求参数范围 例 2 [2023·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝mx－sin x，g(x)＝ax cos x－2sin x(a>0)． (1)若函数y＝f(x)是R上的单调递增函数，求实数m的取值范围； (2)若m＝1，且对任意的x∈[0，]，都有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)∵函数f(x)＝mx－sin x在R上单调递增， ∴f′(x)≥0恒成立，即m≥cos x恒成立，则m≥1. (2)令h(x)＝x＋sin x－ax cos x，则h′(x)＝1＋cos x－a(cos x－x sin x)＝1＋(1－a)cos x＋ax sin x. ①当1－a≥0即0<a≤1时，h′(x)≥0，h(x)在[0，]上为单调递增函数， ∴h(x)≥h(0)＝0，符合题意，∴0<a≤1， ②当1－a<0，即a>1时， 令φ(x)＝1＋(1－a)cos x＋ax sin x，则φ′(x)＝(2a－1)sin x＋ax cos x， ∵a>1，∴2a－1>0，φ′(x)>0，φ(x)在[0，]上为单调递增函数，φ(0)≤φ(x)≤φ()，则2－a≤φ(x)≤a＋1，2－a≤h′(x)≤a＋1， (ⅰ)当2－a≥0，即1<a≤2时，h′(x)≥0，h(x)在[0，]上为单调递增函数， ∴h(x)≥h(0)＝0，符合题意，∴1<a≤2， (ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x0∈[0，]，使得当x∈(0，x0)时，h′(x)<0， 此时h(x)在(0，x0)上为单调递减函数，从而h(x)<h(0)＝0，不能使h(x)>0恒成立． 综上所述，实数a的取值范围为0<a≤2. 题后师说 遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解