高考大题研究课五数列的综合课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课五　数列的综合 题型一　等差数列、等比数列的综合问题 例1 [2023·河北衡水模拟]设等比数列的前n项和为Sn，已知Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，且a1＝1. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是等差数列，且c1＝a1，c3＝S2，设bn＝an·cn，求数列的前n项和Tn. 解析：(1)因为Sn＋Sn＋1＝3an＋1－2，所以Sn－1＋Sn＝3an－2(n≥2)，两式相减可得an＋an＋1＝3an＋1－3an(n≥2)，整理得an＋1＝2an(n≥2)，∵n＝1时，a1＋S2＝3a2－2⇒2a1＋a2＝3a2－2⇒2a2＝4⇒a2＝2，∴a2＝2a1，所以公比q＝2，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n－1. (2)易知c1＝a1＝1，c3＝S2＝3，所以公差d＝＝1，所以cn＝n，所以bn＝an·cn＝n·2n－1，因为Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，则2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减可得Tn＝n·2n－＝n·2n－＝(n－1)·2n＋1.即Tn＝(n－1)·2n＋1. 题后师说 等差数列、等比数列的综合问题是新高考命题的热点之一，对这类问题应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和、裂项相消法求和及错位相减法求和． 巩固训练1 [2023·河南洛阳模拟]已知数列是公差大于1的等差数列，前n项和为Sn，a2＝3，且a1＋1，a3－1，a6－3成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若bn＝，求数列的前n项和Tn. 解析：(1)设等差数列的公差为d，由a2＝a1＋d＝3，得a1＝3－d， 所以a1＋1＝4－d，a3－1＝a1＋2d－1＝d＋2，a6－3＝a1＋5d－3＝4d， 由题意有(d＋2)2＝4d(4－d)，得5d2－12d＋4＝0且d>1，得d＝2， ∴a1＝3－2＝1， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)所以Sn＝＝n2， bn＝＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋…＋)＝. 题型二　数列与不等式的综合问题 例2 [2023·山东烟台模拟]已知数列的前n项和为Sn，a1＝，当n≥2时＝anSn－an. (1)求Sn； (2)设数列的前n项和为Tn，若λTn≤·2n恒成立，求λ的取值范围． 解析：(1)当n≥2时＝anSn－an，所以＝Sn－，整理得：SnSn－1＝Sn－1－Sn，即＝1.所以数列是以＝＝2为首项，1为公差的等差数列．所以＝n＋1，即Sn＝. (2)由(1)知，＝(n＋1)·2n，所以Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n①，所以2Tn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1②，①－②得，－Tn＝4＋－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，所以Tn＝n·2n＋1，所以λTn≤·2n，即λn·2n＋1≤·2n，即λ≤＝，因为≥2 ＝3，当且仅当n＝3时，等号成立，所以λ≤3. 题后师说 巩固训练2 [2022·安徽十校联考]已知数列满足a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2且，且a2＝4. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1. 解析：(1)因为a1＋a2＋…＋an－1－an＝－2，所以a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－2， 两式相减得an＋1＝2an(n≥2)， 当n＝2时，a1－a2＝－2，又a2＝4，所以a1＝2，a2＝2a1， 所以an＋1＝2an. 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＝2n； (2)证明：＝＝， 所以Tn＝＋…＋＝1－<1，由n≥1，得2n＋1≥4， 所以1－， 综上，≤Tn<1. 题型三　数列中的结构不良试题 例3 [2023·河北沧州模拟]已知数列满足a1＝2，前n项和为Sn，且an＋1＋an＝3×2n. (1)写出a2，a3，并求出数列的通项公式； (2)在①bn＝log2；②bn＝log2(Sn＋λ)这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．若数列满足________，求实数λ使得数列是等差数列． 注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分． 解析：(1)由an＋1＋an＝3×2n得：a2＝3×2－a1＝4；a3＝3×22－4＝8； 猜想可得：an＝2n； 当n＝1时，a1＝2满足an＝2n； 假设当n＝k时，ak＝2k成立， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝3×2k－ak＝3×2k－2k＝2k·(3－1)＝2k＋1成立， 综上所述：当n∈N*时，an＝2n. (2)若选条件①，bn＝log2＝log2， 若为等差数列，则bn＋1＋bn－1＝2bn， 即log2＋log2＝2log2， ∴·＝2，整理得：