高考大题研究课四利用正弦、余弦定理解三角形课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课四 利用正弦、余弦定理解三角形 题型一　解三角形 例 1 [2023·辽宁沈阳模拟]从①b sin C＝c cos B，②b2＋ac＝a2＋c2这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答． 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．(填写①或②，只可以选择一个序号，并依此条件进行解答．) (1)求B； (2)若b＝2，△ABC的面积为，求a.   解析：(1)选①：b sin C＝c cos B，由正弦定理得sin B sin C＝sin C cos B，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，故tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. 选②：b2＋ac＝a2＋c2，由余弦定理得cos B＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)选①：b sin C＝c cos B， 由面积公式得ac sin B＝ac sin ＝ac＝，解得ac＝4，由余弦定理得cos B＝＝，解得a2＋c2＝8，解得a＝c＝2. 选②：b2＋ac＝a2＋c2. 由面积公式得：ac sin B＝ac sin ＝ac＝，解得ac＝4，由余弦定理得cos B＝＝，解得a2＋c2＝8，解得a＝c＝2. 题后师说 利用正弦、余弦定理解三角形的关键就是边角转化，可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．解题时，常用到三角形的内角和定理、三角形面积公式等． 巩固训练1 [2023·河南开封模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b＋a)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C. (1)求角A的大小； (2)设a＝2，cos ＝，求b. 解析：(1)由题设(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即bc＝c2＋b2－a2， 所以cos A＝＝，又0<A<π，故A＝. (2)由(1)知：0<B<，则0<<，而cos ＝，故sin ＝， 所以sin B＝2sin cos ＝2×＝， 而＝，故b＝＝. 题型二　三角形中的范围问题 例 2 [2023·河北衡水中学模拟]锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝tan B＋tan C. (1)求角C的值； (2)若c＝2，D为AB的中点，求中线CD的取值范围． 解析：(1)由＝tan B＋tan C， ＝＝＝＝， sin C＝cos C，C∈(0，π)，tan C＝，C＝. (2)＝)，＝)2，CD2＝(a2＋b2＋ab)， 由余弦定理有c2＝a2＋b2－ab，12＝a2＋b2－ab， 所以CD2＝(a2＋b2＋ab)，CD2＝(12＋2ab)＝3＋ab， 由正弦定理＝＝＝＝＝4，a＝4sin A，b＝4sin B， CD2＝3＋ab＝3＋8sin A sin B＝3＋8sin A sin (－A)， ＝3＋8sin A(sin cos A－cos sin A) ＝3＋8sin A(cos A＋sin A) ＝3＋4sin A cos A＋4sin2A＝3＋2sin2A＋2(1－cos 2A) ＝5＋4(sin 2A－cos 2A)＝5＋4sin (2A－)， CD2＝5＋4sin (2A－)，因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<且A＋C>， 则A∈()，<2A－<，则CD2∈(7，9]，CD∈(，3]. 题后师说 三角形中的范围问题一般先通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解． 巩固训练2 [2023·河南新乡模拟]锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2＝sin 2A－sin B sin C. (1)求A； (2)b＝2，求△ABC面积的取值范围． 解析：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C， 所以sin2A＝sin2B＋sin2C－sinB sin C，所以a2＝b2＋c2－bc， 又a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝. 又A∈(0，)，所以A＝. (2)△ABC的面积S△ABC＝bc sin A＝c. 由正弦定理得c＝＝＝＋1， 因为△ABC为锐角三角形，所以，解得<B<， 则tan B>，则1<c<4， 故△ABC面积的取值范围是(，2)． 题型三　平面图形中的解三角形问题 例 3 [2023·江西南昌实验中学模拟]如图，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b cos A－a sin B＝0. (1)求∠BAC； (2)若AB⊥AD，AC＝2，CD＝，求AD的长． 解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得sin B cos A－sin A sin B＝0， ∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，即t