高考大题研究课十一概率与统计的综合问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课十一 概率与统计的综合问题 题型一　离散型随机变量的均值与方差 例 1 [2023·安徽皖江名校联考]国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我促销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中的一种)． 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元． 方案二：从装有10个形状，大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为：若摸出2个红球，1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余情况不打折． (1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望； (2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？ 解析：(1)设实付金额为X元，X可能的取值为0，100，200，300， 则 P(X＝0)＝＝， P(X＝100)＝＝， P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， 故X的分布列为 所以E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＝240(元)． X 0 100 200 300 P (2)若选择方案一，设摸到红球的个数为Y，实付金额为φ，则φ＝500－100Y， 由题意可得 Y～B(3，)，故E(Y)＝3×＝， 所以E(φ)＝E(500－100Y)＝500－100E(Y)＝500－60＝440(元)； 若选择方案二，设实付金额为η元，η可能的取值为0，250，375，500， 则P(η＝0)＝＝，P(η＝250)＝＝， P(η＝375)＝＝，P(η＝500)＝1－＝， 故η的分布列为 所以E(η)＝0×＋250×＋375×＋500×≈466.67(元)． 因为E(φ)<E(η)， 故从实付金额的期望值分析顾客选择方案一更合理． η 0 250 375 500 P 题后师说 离散型随机变量的均值与方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列再代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 巩固训练1 [2023·河北邢台模拟]全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日．目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设．为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛．比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮(n∈N*)，每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答．每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题．答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分．已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立．问： (1)若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？ (2)若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率． 解析：(1)依题意，总分x的所有可能取值为0，10，30， 若甲参赛，记“甲在第i轮答题且答对”为事件Ai(i＝1，2)， P(x＝0)＝P()＝0.2×0.2＝0.04， P(x＝10)＝P(A2＋A1)＝0.2×0.8＋0.8×0.5＝0.56， P(x＝30)＝P(A1A2)＝0.8×0.5＝0.4， 所以x的分布列为 x 0 10 30 P 0.04 0.56 0.4 ∴E(x)＝0×0.04＋10×0.56＋30×0.4＝17.6， 同理可得，若乙参赛，记“乙在第i轮答题且答对”分别为事件Bi(i＝1，2)， P(x＝0)＝P()＝0.5×0.5＝0.25， P(x＝10)＝P(B2＋B1)＝0.5×0.5＋0.5×0.2＝0.35， P(x＝30)＝P(B1B2)＝0.5×0.8＝0.4， 所以x的分布列为 E(x)＝0×0.25＋10×0.35＋30×0.4＝15.5， ∵17.6>15.5， ∴安排甲参赛得分期望高于乙参赛得分期望，安排甲参赛更合适． x 0 10 30 P 0.25 0.35 0.4 (2)设“甲在第i轮回答B组题”的事件为Ai，i＝2，3，4. 则事件A4发生包括“甲在第三轮回答A组题且回答正确”和“甲在第三轮回答B组题且回答正确”． ∴P(A4)＝(1－P(A3))·0.8＋