高考大题研究课十证明与探索问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课十　证明与探索问题 题型一　证明问题 例1 [2023·安徽安庆期末]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，|AF|＝－1，|BF|＝＋1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且|PM|＝|PN|.证明：|MN|＝|AB|·|FP|. 解析：(1)设椭圆C的半焦距为c， 由|AF|＝－1，|BF|＝＋1， 可得a－c＝－1，a＋c＝＋1， 则a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：设MN的中点为H，连接PH， 由|PM|＝|PN|，可得MN⊥HP， 故直线HP为线段MN的垂直平分线． 设直线l：x＝my－1(m≠0)， 代入到椭圆方程x2＋2y2＝2， 整理得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x3，y3)，P(x4，0)， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 所以|MN|＝|y1－y2|＝· ＝＝， y3＝＝，x3＝－1＝， 因为MN⊥HP， 则有直线HP的方程lHP：y－＝－m(x＋)， 令y＝0，x4＝， 即|FP|＝＝， 则有|MN|＝＝2|FP|，又|AB|＝2， 所以|MN|＝|AB|·|FP|. 圆锥曲线中的证明问题，常见的有证明垂直、过定点、线段相等、角相等等，解决的方法就是利用直线与圆锥曲线相交情况下的知识，如弦长公式、韦达定理、斜率公式等，常采用“设而不求”方法． 巩固训练1 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点N(0，1)． (1)求椭圆C的标准方程与焦距； (2)若直线l：y＝kx－与椭圆C交于A，B两点，记线段AB的中点为M，证明：∠AMN＝2∠ABN.   解析：(1)因为椭圆C：＝1(a>b>0)经过点N(0，1)，且离心率为，则b＝1， e2＝＝，解得a2＝2，半焦距c＝＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1，焦距为2c＝2. (2)由得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有x1＋x2＝，x1x2＝，而＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)， 因此·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)＝(k2＋1)x1x2－k(x1＋x2)＋＝(k2＋1)·k·＝0， 于是得⊥，即∠ANB＝90°，而M为直角三角形ABN斜边AB的中点，则|MN|＝|MB|， 所以∠AMN＝2∠ABN. 题型二　探索性问题 例2 如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形 DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直 线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C. (1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率； (2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由已知可得DN为抛物线的准线．设直线l的倾斜角为α，如图所示，分别过点A，B作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足，则BH＝BF，AG＝AF. 作BQ⊥AG，Q为垂足，则QG＝BH. ∵B为线段AC的中点， ∴BH为△ACG的中位线． ∴BH＝AG＝AQ， ∴AQ＝AB. ∴cos α＝cos ∠QAB＝， ∴tan α＝2， ∴直线l的斜率为2. (2)∵正方形DFMN的边长为1，∴p＝1，因此抛物线的方程为y2＝2x，可得M(，1)． 设直线l的方程为my＝x－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－，－)， 联立，化为y2－2my－1＝0， ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－1. 假设存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3.则＝λ(1＋)， 左边＝＝＝＝， ∴＝λ(1＋)，解得λ＝2. 因此存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝2k3. 题后师说 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 巩固训练2 [2023·河南郑州模拟]已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点． (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在直线l，使得△OPQ的面积为？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设F(c，0)，因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以＝，可得c＝， 又因为e＝＝＝，所以a＝2，所以b＝＝＝