高考大题研究课七立体几何中的翻折、探究及最值问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课七　 立体几何中的翻折、探究及最值问题 题型一　翻折问题 例1 [2023·江西师大附中模拟]如图①，已知等边三角形ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC.如图②，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置． (1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM； (2)若二面角A′ - MN - C的大小为60°，求平面A′BM与平面A′CN所成锐二面角的余弦值． 解析：(1)证明：如图①，在△AMN中，由AM＝1，AN＝2，∠A＝60°， 则MN2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，故MN＝，则AM2＋MN2＝AN2， 所以MN⊥AM，MN⊥BM. 如图②，则有MN⊥A′M，MN⊥BM，又A′M∩BM＝M， 则MN⊥平面A′BM，又MN⊂平面BCNM， 所以平面A′BM⊥平面BCNM. (2)由(1)知，∠A′MB即为二面角A′ - MN - C的平面角，则∠A′MB＝60°， 在△A′BM内过点A′作A′O⊥BM于O，连接OC，则OM＝，OC＝，且A′O⊥平面BOC. 如图，以O为原点，以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴建立直角坐标系， 则C(0，，0)，N(－，0)，A′(0，0，)， 则＝(－，－，0)，＝(0，－)， 设平面A′CN的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则，即， 令y＝1，则n＝(－，1，3)， 又平面A′BM的一个法向量为m＝(0，1，0)， 则cos 〈m，n〉＝＝＝， 故所求锐二面角的余弦值为. 题后师说 翻折问题的两个解题策略 巩固训练1 [2023·河北保定模拟]如图1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC＝2AB＝12，E，F都在AC上，且AE∶EF∶FC＝3∶4∶5，EB∥FG，将△AEB，△CFG分别沿EB，FG折起，使得点A，C在点P处重合，得到四棱锥P - EFGB，如图2. (1)证明：EF⊥PB； (2)若M为PB的中点，求钝二面角B - FM - E的余弦值． 解析：(1)证明：由AE∶EF∶FC＝3∶4∶5，AC＝12， 得PE＝AE＝3，EF＝4，PF＝FC＝5，则PF2＝PE2＋EF2，所以PE⊥EF. 因为＝＝，所以△ABE∽△ACB， 所以BE⊥AC，即BE⊥EF. 又PE∩BE＝E，所以EF⊥平面PEB， 因为PB⊂平面PEB，所以EF⊥PB. (2)以E为坐标原点，以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系E - xyz， 则E(0，0，0)，F(4，0，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，M(0，)，＝(4，0，0)，＝(0，)，＝(4，－3，0)，＝(4，0，－3)． 平面BFM即平面BPF，设平面BFM的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则由m·＝0，m·＝0， 得. 令y1＝4，得m＝(3，4，4)． 设平面EFM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·＝0，n·＝0， 即. 令y2＝1，得n＝(0，1，－)． 因为cos 〈m，n〉＝＝＝－， 所以钝二面角B - FM - E的余弦值为－. 题型二　探究问题 例2 [2023·安徽马鞍山模拟]如图所示，四棱锥P - ABCD，底面在以AC为直径的圆O上，PO⊥圆O，△ABD为等边三角形，AC＝4，PO＝. (1)求证：平面PBD⊥平面PAB； (2)线段PB上是否存在一点M使得直线PA与平面 AMC所成角的正弦值为？若存在，求出； 若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：证法一：设AC∩BD＝N，由题知△ABD为等边三角形，AC为直径，OA＝2，得AC⊥BD， ∴∠NBC＝30°，AN＝3，CN＝1， 得BC＝2，在Rt△ABC中，得AB＝2， 在Rt△POA中OA＝2，PO＝，得PA＝.易知PA＝PB， 则PA2＋PB2＝AB2，故PA⊥PB. 易知△PAB≌△PAD，则PA⊥PD，又PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面PBD， ∴PA⊥平面PBD， 又PA⊂平面PAB， ∴平面PBD⊥平面PAB. 证法二：设AC∩BD＝N，连接PN， 由PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PO⊥BD，由题知AC⊥BD，又PO∩AC＝O，PO，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC， ∴BD⊥PA， ∵OA＝2，PO＝，△ABD为等边三角形， ∴AN＝3，ON＝1，BN＝，得PA＝，PN＝， ∴PA2＋PN2＝AN2，则PA⊥PN， 又PN∩BD＝N， 故PA⊥平面PBD， 又PA⊂平面PAB， ∴平面PBD⊥平面PAB. (2)以N为坐标原点，NA，NB所在直线分别为x轴，y轴，过点N且与直线OP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，P(1，0，)