高考大题研究课六向量法求空间角与距离课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课六 向量法求空间角与距离 题型一　直线与平面所成的角 (1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是. (3)向量求法：如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝. 例1 [2023·河北沧州模拟]如图，在三棱锥P - ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，△PAC是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，PB＝AB，BC＝4. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值． 解析：(1)证明：由题意知BC⊥AC， 则AB＝＝2，所以PB＝AB＝2. 又BC＝4，PC＝2，所以PB2＝PC2＋BC2，所以PC⊥BC， 又PC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC， 又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC. (2)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴， 过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，)， E(，0，)，F(，2，)， 所以＝(－，0，)，＝(0，2，0)， ＝(－2，4，0)． 设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，则 则y＝0，取z＝，得m＝(1，0，)． 设直线AB与平面AEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝， 所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为. 题后师说 利用空间向量求线面角的解题步骤 巩固训练1 [2023·江西赣州模拟]如图，四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，PA⊥平面ABCD.点M是PC的中点，且平面AMD⊥平面PCD. (1)证明：AM⊥平面PCD； (2)求直线BM与平面AMD所成角的正弦值． 解析：(1)证明：连接AC，则AC＝，又CD＝，AD＝2，所以AC⊥CD. 由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，得PA⊥CD，又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，从而CD⊥平面PAC，又AM⊂平面PAC， 于是CD⊥AM，① 过C作CE⊥MD，垂足为E，由平面AMD⊥平面PCD，平面AMD∩平面PCD＝MD知，CE⊥平面AMD，而AM⊂平面AMD， 于是CE⊥AM， 结合①得，又CE∩CD＝C，CE，CD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD. (2)由(1)知，AM⊥PC，且点M是PC的中点，所以PA＝AC＝， 如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，M()， ＝(0，2，0)，＝()． 设平面AMD的法向量为n＝(x，y，z)， 则由得， 令z＝1，得n＝(－，0，1)， ＝(－)，设直线BM与平面AMD所成角为θ， 则sin θ＝＝＝＝. 题型二　(二面角)平面与平面所成的角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]. (4)向量求法：若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝. 例2 [2023·山东青岛模拟]如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝AB＝2. (1)证明：A1C⊥AB1； (2)若三棱锥B1 - A1AC的体积为，求二面角A1 - B1C - A的大小． 解析：(1)证明：连接A1B， 由三棱柱ABC - A1B1C1为直三棱柱可得BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以BB1⊥BC， 因为BC⊥AB，AB＝B，AB，BB1⊂平面AA1B1B， 所以BC⊥平面AA1B1B， 因为AB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥AB1. 因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B是正方形， 所以AB1⊥A1B， 又因为BC＝B，BC，A1B⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC， 因为A1C⊂平面A1BC，所以A1C⊥AB1. (2)由(1)得BC⊥平面AA1B1B， 所以点C到平面AA1B的距离为BC. 所以VB1 - A1AC＝＝A1B1·AA1·BC＝BC＝， 解得BC＝. 因为BA，BC，BB1两两垂直，以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，0，2)，C(，0，0)， 设平面AB1C的法向