高考大题研究课九最值与范围问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课九　最值与范围问题 题型一　最值问题 例1 [2023·安徽十校联考]如图，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，且经过点(1，－)，直线 l：x＝ty－1恒过定点F且交椭圆于D，E两点，F为OA的中点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)记△BDE的面积为S，求S的最大值．   解析：(1)由题意可得，直线l：x＝ty－1恒过定点F(－1，0)， 因为F为OA的中点，所以|OA|＝2，即a＝2. 因为椭圆C经过点 (1，－)，所以 ＝1，解得b＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设E(x1，y1)，D(x2，y2)． 由得(t2＋4)y2－2ty－3＝0，Δ>0恒成立， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 则|ED|＝·＝·＝， 又因为点B到直线l的距离d＝， 所以S＝×|ED|×d＝··＝. 令m＝，则＝＝， 因为y＝m＋，m≥时，y′＝1－>0，y＝m＋在m∈[，＋∞)上单调递增， 所以当m＝时，(m＋)min＝时，Smax＝. 即S的最大值为 . 题后师说 解析几何中的常见最值问题有：线段长度(弦长)最值、三角形面积最值、面积比最值、线段长度比最值等．常用解题方法是把这些问题利用代数方法转化为关于某个变量的函数，然后通过一些变形：分式型函数常分离常数转化为x＋(a＞0)的形式、分子分母同时除以某个式子后转化为x＋(a＞0)的形式、先换元再转化为x＋(a＞0)形式；乘积型式子看能否通过“1”变形、拆项、添项等使得和为定值，进而利用基本不等式或其变形解决． 巩固训练1 (1)[2023·湖北监利期末]已知曲线C上任意一点P(x，y)满足方程||＝2， ①求曲线C的方程； ②若直线l与曲线C在y轴左、右两侧的交点分别是Q，P，且·＝0，求||2＋||2的最小值． 解析：(1)①设F1(－，0)，F2(，0)， 则＝2，等价于||PF1|－|PF2||＝2<|F1F2|， ∴曲线C为以F1，F2为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为2， 故曲线C的方程为x2－＝1. ②由题意可得直线OP的斜率存在且不为0，可设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)， 则直线OQ的方程为y＝－x，由，得， 所以|OP|2＝x2＋y2＝，同理可得，|OQ|2＝＝， 所以＝＝＝，|OP|2＋|OQ|2＝2(|OP|2＋|OQ|2)()＝2[2＋()2＋()2]≥2(2＋2)＝8， 当且仅当|OP|＝|OQ|＝2时取等号， 所以当|OP|＝|OQ|＝2时，|OP|2＋|OQ|2取得最小值8. (2)[2023·河南南阳期末]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的通径长为，若抛物线C上有一动弦AB的中点为M，且弦AB的长度为3. ①求抛物线C的方程； ②求点M的纵坐标的最小值． 解析：(2)①由题意可知：2p＝，所以抛物线C的方程为x2＝y； ②由题意可知：直线AB斜率必存在，设其方程为y＝kx＋b. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．则x0＝，y0＝， 联立方程得2x2－kx－b＝0. 所以，y1＋y2＝＋2b. 又知：|AB|＝ ＝ ＝3， 得2b＝， ∴y0＝＝＋2b)＝) ＝)≥(2)＝. 当且仅当＝，即k2＝5时取等号， 则点M的纵坐标的最小值为. 题型二　范围问题 例2 [2023·广东揭阳期末]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A()在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l：y＝k(x－3)(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线l′过点M，且与直线l垂直．记直线l′与y轴的交点为N，求|MN|的取值范围．   解析：(1)由题意可得，解得a2＝4，b2＝3. 故椭圆C的标准方程为＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)． 联立，整理得(4k2＋3)x2－24k2x＋36k2－12＝0， 则Δ＝(－24k2)2－4(4k2＋3)(36k2－12)＝48(3－5k2)>0，解得0<k2<， 从而x1＋x2＝，x1x2＝. 因为M是线段PQ的中点，所以x0＝＝， 则y0＝k(x0－3)＝－，故M(，－)． 直线l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，即y＋＝－(x－). 令x＝0，得y＝－(0－)－＝， 则N(0，)， 所以|MN|＝＝. 设t＝4k2＋3，则k2＝， 故|MN|＝＝3＝3. 因为0<k2<，所以3<t<，所以0<|MN|<. 题后师说 解圆锥曲线中范围问题的策略 巩固训练2 (1)[2023·辽宁抚顺期末]已知椭圆C1的方程为＝1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (ⅰ)求双曲线C2的方程； (ⅱ)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不