高考大题研究课二利用导数研究函数的零点问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课二 利用导数研究函数的零点问题 题型一　函数零点个数问题 例 1 [2023·皖南八校联考]已知函数f(x)＝＋x ln x－x. (1)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)当a＝0时，求函数h(x)＝f(x)－x＋的零点个数． 解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x－2ax，由题意得f′(x)＝0在(0，＋∞)上有两解，即2a＝有两解． 令g(x)＝(x>0)，即g(x)的图象与直线y＝2a有两个交点． g′(x)＝＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max＝g(e)＝，g(1)＝0， 当x趋于正无穷时，g(x)趋于零， ∴0<2a<，∴0<a<， ∴a的取值范围是(0，)． (2)h(x)＝x ln x－2x＋(x>0)，h′(x)＝ln x－1－， 令m(x)＝ln x－1－，则m′(x)＝，当x>0时，m′(x)>0， 所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为h′(e)＝－<0，h′(e2)＝1－>0，∴存在唯一的x0∈(e，e2)，使得h′(x0)＝＝0，当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，∴h(x)min＝h(x0)． 又∵x0∈(e，e2)，h′(x0)＝＝0， ∴h(x0)＝x0ln x0－2x0＋＝－x0＋＝－x0＋<－e＋<0. 又∵h(1)＝0，h(x)在(0，x0)上单调递减，∴h(x)在(0，x0)上有一个零点． ∵h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，且h(e2)＝>0， ∴h(x)在(x0，＋∞)上有一个零点． 综上可知，函数h(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 题后师说 利用导数确定函数零点个数的方法 巩固训练1 设函数f(x)＝ln x＋，讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点个数． 解析：由题设，可知g(x)＝f′(x)－＝(x>0)． 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点． 所以φ(x)的最大值为φ(1)＝. 画出y＝φ(x)的大致图象(如图)， 可知①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 题型二　利用函数的零点个数求参数范围 例 2[2023·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)． (1)当a＝－1时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点，求a的取值范围．   解析：(1)当a＝－1时，f′(x)＝－1＝，x>0. 由f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴f(x)只有极大值，无极小值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1. (2)f′(x)＝＋a＝(x>0)． 当a≥0时，∵f′(x)＝>0， ∴函数f(x)＝ln x＋ax在(0，＋∞)上单调递增， 从而f(x)至多有一个零点，不符合题意． 当a<0时，∵f′(x)＝(x>0)， ∴f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 由f(－)＝ln (－)－1>0得－<a<0. 由f＝2＋ae2<0得a<－. 当－<a<－时，f(1)＝a<0，满足f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点． ∴a的取值范围是(－，－)． 题后师说 利用函数的零点个数求参数范围的方法 巩固训练2 已知函数f(x)＝x3－ax2－2x(a∈R)在x＝2处取得极值． (1)求f(x)在[－2，1]上的最小值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋b(b∈R)有且只有一个零点，求b的取值范围． 解析：(1)∵f(x)＝x3－ax2－2x(a∈R)，∴f′(x)＝x2－ax－2， ∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝0，即22－2a－2＝0解得a＝1， ∴f(x)＝x3－x2－2x，∴f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，∴当x<－1或x>2时f′(x)>0，当－1<x<2时f