高考大题研究课八定点与定值问题课件-2023届高三数学（新教材）二轮复习

高考大题研究课八　定点与定值问题 题型一　圆锥曲线中的定点问题 例1 [2023·河北保定模拟]已知椭圆E：＝1(a>b>0)的焦距为2c，左、右焦点分别是F1，F2，其离心率为，圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线l不经过点P(0，1)且与椭圆E相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为－2，证明：直线l过定点． 解析：(1)由题意得e＝＝， 由圆F1：(x＋c)2＋y2＝1与圆F2：(x－c)2＋y2＝9相交，两圆交点在椭圆E上， 可知：2a＝1＋3，又a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝1，c＝ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设直线l：x＝t， 由题意可知t≠0，且|t|<2，设A(t，)，B(t，－)， 因为直线PA，PB的斜率之和为－2，所以＝－2， 化简得t＝1，所以直线l的方程为x＝1. ②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y，化简得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. x1＋x2＝－，x1x2＝， 由题意可得Δ＝16(4k2－m2＋1)>0， 因为直线PA，PB的斜率之和为－2， 所以＝－2， ∴＝－2， ∴＝－2， ∴(2k＋2)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0， ∴(2k＋2)·＋(m－1)·＝0(∵m≠1)， 化简整理得k＝－m－1， 当且仅当Δ＝16[4(m＋1)2－m2＋1]＝16(3m2＋8m＋5)>0时，即m<－ 或m>－1且m≠1 时符合题意， ∴直线AB的方程：y＝(－m－1)x＋m，即y＋1＝(－m－1)(x－1)， 故直线l过定点(1，－1)， 综上①②可得直线l过定点(1，－1)． 题后师说 求解直线或曲线过定点问题的策略 巩固训练1 (1)[2023·河南洛阳模拟]已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点P(2，1). ①求抛物线C的方程； ②A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若＝2，求证：直线AB过定点． 解析：(1)①由题意，设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)． 因为抛物线经过点P(2，1)， 所以22＝2p，解得p＝2. 所以抛物线C的方程为x2＝4y. ②由题意可知，直线AB的斜率一定存在，不妨设直线AB的方程为y＝kx+b，A(x1，，B． 联立得x2－4kx－4b＝0. 其中Δ＝16k2＋16b>0，即k2＋b>0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b. ∴＝＝＝＝2， 即＝2， 所以x1x2＝－4b＝4，解得b＝－1. 所以直线AB的方程为y＝kx－1，恒过定点(0，－1)． (2)[2023·辽宁辽阳期末]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)过点P(3，4)，且C的渐近线方程为y＝±x. ①求C的方程； ②A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，QA，QB与y轴分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆过两个定点． 解析：由C的渐近线方程为y＝±x，得＝， 故可设C的方程为＝λ， 将点P(3，4)代入可得λ＝1， 故C的方程为＝1. ②证明：设Q(x0，y0)，A(3，0)，B(－3，0)， 则直线QA的方程为y－y0＝(x－x0)， 令x＝0，得y＝＋y0＝－，则M(0，－)， 直线QB的方程为y－y0＝(x－x0)， 令x＝0，得y＝＋y0＝，则N(0，)． 设E(x，y)是以MN为直径的圆上任意一点， 则·＝(x，y＋)·(x，y－)＝0， 即x2＋(y＋)·(y－)＝0， x2＋y2＋()y＋·＝0， 即＝0， 因为Q(x0，y0)在C上，所以＝1，则＝16， 所以y－16＝0，令y＝0，得x＝±4. 故以MN为直径的圆过两个定点，且这两个定点的坐标分别为(－4，0)，(4，0)． 题型二　定值问题 例2 [2023·山东临沂模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为C的左顶点，且＝－5． (1)求C的方程； (2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N.求证：点M与点N的横坐标之积为定值． 解析：(1)易知点A(－a，0)、F1(－c，0)、F2(c，0)，＝＝(c＋a，0)， 所以，解得a＝2，c＝3，则b＝＝， 所以双曲线C的方程为＝1. (2)分以下两种情况讨论： ①当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝±2，此时点M、N的横坐标之积为22＝4； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即