3.2 导数与函数的单调性课件-2023届高三数学一轮复习

第二节　导数与函数的单调性 【课标标准】　 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 知识梳理 导数与函数的单调性的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内__________ f′(x)<0 f(x)在(a，b)内__________ f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 [常用结论] 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．(　　) (3)若函数在定义域上都有f′(x)>0，则在定义域上一定单调递增．(　　) (4)由于>0在(－∞，0)上恒成立，且函数y＝－的导数y′＝，所以函数y＝－的单调递增区间是(－∞，0).(　　) × √ × × 2．(教材改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由导函数的图象可知函数在(－∞，0)上是先减后增，在(0，＋∞)上先增后减再增． 故选D. 3．(教材改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为___________，单调递减区间为________． (，＋∞)　 (0，) 解析：y′＝6x－＝. ∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y′>0，得x>. ∴函数的单调递增区间为(，＋∞)． 由y′<0，得0<x<， ∴函数的单调递减区间为(0，)． 4．(易错)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________． －4 解析：f′(x)＝x2－3x＋a， ∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]， ∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，即－1，4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，由韦达定理得－1×4＝a，即a＝－4. 5．(易错)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． (0，2] 解析：解法一：由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a， ∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)． ∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)， ∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2. 解法二：y′＝1－，依题意知1－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立， ∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a>0，∴0<a≤2. 题型一　求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝； 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)＝. 当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 故f(x)在(－∞，－1)和(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f(x)＝－x. 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－1＝， 易知，y＝－x3，y＝－2ln x在(0，＋∞)上为减函数， 所以φ(x)＝1－2ln x－x3在(0，＋∞)上为减函数，且φ(1)＝0， 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， 故函数的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞)． 题后师说 求函数单调区间的步骤 巩固训练1 (1)函数f(x)＝－ln x＋x的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)和(1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：C 解析：由题设，f′(x)＝1－>0且x∈(0，＋∞)，可得x>1， 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． 故选C. (2)[2023·河北唐山一中月考]函数f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)的单调递减区间为________． (0，π) 解析：由题设，f′(x)＝1－>0且x∈(0，＋∞)，可得x>1， 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． 故选C. 题型二　讨论函数的单调性 例 2