2.8 函数与方程课件-2023届高三数学一轮复习

第八节　函数与方程 【课标标准】　 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 知识梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于一般的函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程根的关系： f(x)＝0 实根 x轴 零点 (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得________． f(a)·f(b)<0 f(x0)＝0 2．二分法 对于在区间上图象连续不断且________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)·f(b)<0 一分为二 零点 [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　) (4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(　　) × √ × × 2．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表． 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) x 1 2 3 4 5 f(x) －4 －2 1 4 7 答案：B 解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点． 故选B. 3．(教材改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是________． 1 解析：因为y＝2x，y＝x3是增函数， 所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增． 又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0， 所以f(0)f(2)<0， 故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一的零点． 故选B. 4．(易错)(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是(　　) A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内 B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内 C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内 D．函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1，2)内 答案：ABD 解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号， 又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0， 若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确． 若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确． 综上两种情况，可知选项C错误，D正确． 故选ABD. 5．(易错)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为 ________． 0或－ 解析：若a＝0， 则f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，即－x－1＝0， 得x＝－1，故符合题意； 若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1是二次函数． 故有且仅有一个零点等价于Δ＝1＋4a＝0， 解得a＝－， 综合所述a＝0或a＝－. 题型一　函数零点所在区间的判定 例 1 (1)[2023·安徽安庆一中月考]函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由已知得f(x)＝x＋log2x为(0，＋∞)上的递增函数， f＝＋log2＝－log23<