1.4 基本不等式课件-2023届高三数学一轮复习

第四节　基本不等式 【课标标准】　 1.掌握基本不等式 ≤ (a>0，b>0). 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 知识梳理 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号． (3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤________(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号). (2)a＋b≥________(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号). a＝b 2 3．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值__________．(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值________．(简记：和定积最大). x＝y 2 x＝y S2 [常用结论] 1.＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号． 2．应用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出错． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　　) × × √ × 2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 故选B. 3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 25 解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2， 则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案：C 解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C. 5．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为________. 2－2 解析：∵x<0，∴－x>0， ∴y＝2＋x＋＝2－， 又－x－≥2 ＝2， ∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2， 当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立． 题型一　利用基本不等式求最值 角度一 拼凑法求最值 例 1(1)(多选)下列说法正确的是(　　) A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．2－3x－的最大值是2－4 答案：AB　 解析：对于A，由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故A正确； 对于B，＝，当x＝0时取得等号，故B正确； 对于C，＝＝，令＝t，则t≥2， 因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误； 对于D，2－在x<0时，没有最大值，故D错误． 故选AB. (2)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为_______． 解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝， 当且仅当“2x＝3－2x，即x＝”时，等号成立． ∵∈， ∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为. 题后师说 拼凑法求最值的策略 巩固训练1 [2023·辽宁沈阳三十一中月考]下列函数中，最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝x＋＋4(x>－2) C．y＝cos2x＋ D．y＝x2＋2x＋4 答案：B 解析：对于A：当x<0时y＝x＋<0，显然最小值不为4，排除； 对于B：由x＋2>0，则y＝(x＋2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝－1时等号成立，满足； 对于C：由题意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋在(0，1]上递减，故t＝1时函数最小值为5，不满足； 对于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时最小值为3，不满足． 故选B. 角度二 常值代换法求最值 例 2 [2023·河南信阳模拟]设a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最大值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：B 解析：∵a＋b＝1，＝， ＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9， 当且仅当a