2022-2023学年高二物理竞赛课件：固体中的电子

固体中的电子 固体一般指晶体，是物质的一种凝聚态，它的电 性质、磁性质、甚至力性质都与其中的电子有关。 固体中的电子 电子的性质由其能量（能带）决定 固体物理重点：求解能带 x U(x) + + + + + d 金属的自由电子气模型： 金属中能够自由流动的公共电子称为自由电子。 自由电子之间相互作用很弱，像气体分子一样，弥漫 在金属内部，把自由电子整体称为自由电子气。 设定宏观边界，3 维无限深方势阱，定态薛定谔方程 自由电子气 + 周期势微扰 = 能带 孤立原子 + 微扰势 = 能带 自由电子气的费米能量： 周期性变条件，定态薛定谔方程 x y z a a a xyz方向周期性边条件 xyz方向动量 电子能量本征值，三维自由粒子动能 nx, ny, nz 分别为 x, y, z 方向的量子数。 用 表示自由电子态指标 轨道量子数 自旋量子数 (ms = 1/2) 在量子数空间 (或动量空间， ) 态指标对应整数（正负）坐标点。 态指标：三维空间，球 半径为 n 的球面上各点具有相同的 值，对应同一能量 能量小于 E 的状态数，球面内所含状态数： 每个轨道状态包含 2 个自旋状态 nx ny nz 多个量子态对应一个能级 E，称为简并。与一个简并能级对应的量子态数目叫简并度 金属单位体积内自由电子能量小于 E 的状态数为 T = 0K 时，由能量最低原理和泡利不相容原理，电子一个一个地从能量最低的状态向能量较高的状态填充， ns就是电子数密度，可填充的最高能级叫费米能级 EF。 真空能级 EF 逸 出 功 A 取决于 ns 。 费米能级(能量) 费米能量 EF ~ eV 在此狭小能量区间，密集排布着 (自由电子数 /2) 个能级，所以自 由电子的能量分布是准连续的。 费米速度 vF 即使在绝对零度下，电子仍然剧烈地运动着。 费米温度 TF 对 求导，得 E 附近单位能量区 间的量子态数，即能态密度 能态密度： E O EF 0K 当温度升高时，电子与晶 格离子无规则碰撞而获得能量， 被激发至较高能级，但仍满足泡利不相容原理。 常温下，电子可以从晶格获得 kT  0.026eV << EF 的能量，所以仅仅少量的能量稍低于 EF 的电子能够跃 迁到较高能级上去，电子态占据仅有较少改变。 kT 300K 利用量子力 学理论计算 的几种金属 态密度曲线 4 2 0 4 2 0 2 0 12 8 4 0 4 Cu 8 4 0 Fe 4 0 Li Na K Al E /eV E /eV EF EF EF EF EF EF 金属自由电子理论忽略了正离子周期性势场对电 子运动的影响。若考虑其作用，则产生能带。 一、固体的能带： 以两个 Na 原子形成 Na2 分子为例， 设 1 和 2 分别为两个 Na 原子的价电子 (3s电子) 的波函数， 为 Na2 分子的共有化电子的波函数。 波函数叠加  = 1 + 2 概率分布 ||2 = |1 + 2|2 = |1|2 + |2|2 + 1*2 + 12* 当原子相距无穷远时，交换项 1*2 + 12* = 0 当原子接近时，若1*2 +12* >0，||2 > |1|2 +|2|2 则形成化学键，能量；否则不形成化学键，能量。 1 2 1 2   | |2 | |2 两个 Na 原子接近时的电子云分布和波函数 $