2022-2023学年高二物理竞赛课件：轨道角动量

轨道角动量 氢原子，单电子，电子在原子核的库仑场中运动，中心立场，势能函数为： 中心力场，角动量守恒， 在经典力学中，角动量定义为 在量子力学中， 轨道角动量 求角动量的本征方程 首先定义角动量算符！ 2 定义角动量的平方算符 中心力场，中心对称，方程表达在球坐标下 角动量和哈密顿对易，角动量守恒，角动量模长，角动量投影，哈密顿，三者共享本征函数 先求最简单的，角动量投影算符 的本征函数 在球坐标系中，轨道角动量z轴投影 y r x z 0 球坐标与直角坐标系之间坐标变换 一维问题，一阶线性微分方程 的本征方程 其中 是本征值， 是本征波函数。 通解： 由周期性边界条件 ，限定ml取值 由波函数的归一化条件 得 则角动量在z轴上的投影 的归一化本征波函数为: 这要求ml必须是整数， 即 在球坐标系中，轨道角动量 的本征方程 角动量算符 和 的共同本征波函数可写作 微分相加，无交叉项，分离变量 本征方程： 其中， 已解，有态指标 根据波函数的量子化条件（略过程），得本征值 本征方程变为为: 其中 l 称为角量子数， ,称为轨道磁量子数。 和 的共同本征函数是球谐函数 l=0,1,2的球谐函数 取核所在点为原点： x y z 0 r 则球坐标中的定态薛定谔方程为 线性齐次微分方程，微分相加无交叉，分离变量法 薛定谔方程 动能项，和角动量有关 根据对易关系： 有共同本征函数, 部分已求解 总的波函数 为球谐函数： $