2022-2023学年高二物理竞赛课件：一维无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential)

一维无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential) 一、无限深一维方势阱 粒子处于束缚态： 在阱内势能为零，粒子不受力的作用； 在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受到无限大斥力。粒子被限制在0<x<a范围内,不可能到此范围外。 0 a x 粒子在力场中的势能函数为： 一维无限深方势阱中的粒子 (Particle in infinite square-well otential) 这种势能分布即为无限深方势阱。 二、求解定态薛定谔方程 由于势函数不随时间变化，所以属定态解。 (0<x<a) 利用能量关系： 上式变为： 此方程通解为: 其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。 边界条件要求： 阱内：U = 0，方程为 连续条件 阱外：物理上，势能为无穷就是粒子不能到达， 因此有: 有界条件 所以有： （若B=0，则势阱内无粒子） 由归一化有： 归一化条件 则： n 叫量子数 由此得： 总波函数： 由 和 解得： 定态本征解： 定态能量本征值： 讨论 （1）能量是量子化的: 在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。 （2）没有零点能:最低的能级是 n=1 能级 对经典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。 若E=0， 则 但势阱中 ，所以E不能为零。 根据不确定关系， （4）根据波函数的物理意义， 为粒子在各处出现的概率密度。 由图，在势阱内概率密度随x改变，且与n有关。但是按经典理论,粒子在各点出现的概率应该是相同的。 0 a n=1 n=2 n=3 E1 E2 E3 x 当 时，量子化-->连续 (5)每一个能量本征态对应于德布罗意 波的一个特定波长的驻波 ， 可见a越大 越小,当a大到宏观尺度时， ,能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。 （3）相邻两个能级之差 (6) 把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的 x 改 为 x -a/2， 就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号 的差别，但作为波函数是等价的）： n = 1,3,5,… 时的波函数是偶函数, 这些状态叫做偶宇 称态，n = 2,4,6,… 时的波函数是奇函数，这些态叫做 奇宇称态。 E O a/2 x -a/2 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 E O a x E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 En ψn |ψn|2 E O a/2 x -a/2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 E1 n=1 4E1 n=2 9E1 n=3 量子力学： E E1 E3 E2 -a/2 a/2 x U0 En ψn |ψn|2 0 能量小于U0的粒子，只能在 阱内运动,不可进入其能量小于势能的 的区域，否则动能将为负值。 薛定谔方程给出的解 , 在其势能U0大于总能量E的区域 内虽然逐渐衰减，但仍有一定的值。 讨论：与经典理论不同，微观粒子能进入势能远大于总能量的区域，这可用测不准关系加以说明, 在该区域内，其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。 指数降低 经典理论： 粒子可以以负动能穿透势阱，如果负动能区不是太宽，粒子还可以贯穿势垒，隧道效应。 E ψ(x) U O a x U0 对有限厚度的势垒，粒子的势能函数为 a 越小, U0 越小, 穿透率越高 如果 或势垒宽度a较大，即能量太低或势垒太宽，粒子将无法穿越。 穿透系数为 隧道效应: 隧道电流I与样品和 针尖间距离S的关系 利用扫描隧道显微镜看到的硅表面 （ 77 重构图象） 隧道效应已经被实验完全证实。 粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子。隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜。 $