2022-2023学年高二物理竞赛课件：旋度与散度的区别

旋度与散度的区别 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数； 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系； 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）； 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。 旋度与散度的区别 因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即 此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。 边条件决定场点， 任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。 任何旋度场一定是无散场 任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 柱坐标中矢量A的散度和旋度 为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是 球坐标中矢量A的散度和旋度 将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积, 则有 取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得 (1) 沿n方向的方向导数 格林(G .Green)第一恒等式 Green’s first identity 把式中的φ与ψ交换位置, 格林第二恒等式 Green’s first identity (1)(2)两式相减 得 (1) 矢量格林定理 矢量格林第二定理: 利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。 如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。 10 无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即 函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。 无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即 这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。 有源无旋场 $