2022-2023学年高二物理竞赛课件：散度定理 The divergence theorem

散度定理 The divergence theorem 上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 散度定理 The divergence theorem 矢量的散度代表其通量的体密度, 因此, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。 如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。 散度定理的物理意义： 2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数； 1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即 3 通量描述的是一定范围内的源与净通量之间的关系，而不能反映场域内的源分布情况。为了研究矢量场中每一点处的场与源之间关系，需要引入矢量场的散度的概念。 3、直角坐标系中散度的表示 散度可用算符 哈密顿 表示为 哈密顿 拉普拉斯2 正源 负源 无源 散度的基本运算公式 C为常矢量 k为常数 u为标量 矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为 环量 Curl of a vector field 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度(curl或rotation): 定义： 旋度的物理意义 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。 矢量A的旋度可表示为密勒算子与A的矢量积, 即 计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得 旋度的计算 即 旋度运算规则: 在直角坐标系中有 $