2022-2023学年高二物理竞赛课件：方向导数与梯度 格林定理

方向导数与梯度, 格林定理 方向导数与梯度, 格林定理 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ 沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关, 设 方向导数 一、方向导数与梯度 每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉梅(G .Lame)系数, 分别为 直角坐标： 柱坐标： 球坐标： 与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 面积元： 体积元： 直角坐标： 柱坐标： 面积元： 体积元： 球坐标： 面积元： 体积元： 是一个矢量 的模就是在给定点的最大方向导数 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变化率最大的方向。 密勒算子  直角坐标： 柱坐标： 球坐标： 梯度运算规则: 2、梯度的物理意义 1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数； 2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。 任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 任何梯度场一定是无旋场。 梯度的重要性质 矢量场的通量 矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 矢量场的通量 定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则 为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面 物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 通过闭合面S的通量的物理意义： 在直角坐标系中，通量可以写成 a) 若 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源； b) 若 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源； c) 若 ，闭合面无源。 $