3.2.2 第2讲　数列的通项与求和课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第2讲　数列的通项与求和 考点一　数列的递推与通项——构造转化为基本数列 1．数列的前n项和及其与通项的关系 (1)Sn＝a1＋a2＋…＋an； (2)an＝ 2．由递推公式求数列通项的常用方法 (1)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法，即利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解． (2)形如an＋1＝an·f(n)，常用累乘法，即利用an＝a1···…·(n≥2，n∈N*)求解． (3)形如an＋1＝ban＋d(b≠1)，常用构造等比数列法． 对an＋1＝ban＋d变形得an＋1＋x＝b(an＋x)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它可求出an. 例 1 (1)[2022·四川成都模拟]已知数列{an}满足an＋1－an＝2n(n∈N*)，a2＝3，则an＝__________； an＝2n－1 解析：由题设，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…， an－an－1＝2n－1且n≥2，所以an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，又a2＝3，则a1＝1，故an＝2n－1，显然a1＝1也满足an＝2n－1. (2)[2022·湖北荆州中学]已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝.则数列{an}的通项公式为an＝________； 解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋1，＝1，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以＝n，an＝. (3)[2022·山西太原二模]已知数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，且nSn＋1＝(n＋2)Sn，则数列{an}的通项公式an＝________． n 解析：∵nSn＋1＝(n＋2)Sn，∴＝， 当n≥2时，Sn＝×…××S1＝×…××1＝， 当n＝1时，S1＝＝1＝a1成立，∴Sn＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝n， 当n＝1时，a1＝1满足上式， ∴an＝n. 归纳总结 由数列的递推式求通项公式的常用方法 提醒　由Sn求an时，一定要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，最后验证两者可否合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示． 　 对点训练 1．[2022·四川省绵阳南山中学模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，(n∈N*)，则an＝__________． an＝ 解析：因为an＋1＝，所以＝4＋，所以＝4， 又＝1，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝. 2．[2022·四川什邡中学模拟]数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则 它的通项公式是________________． an＝ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－＝6n－5， 经检验当n＝1时不符合， 所以an＝. 3．[2022·齐齐哈尔市第一中学一模]数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2nan－1，则数列{an}的通项公式为______________． an＝ 解析：因为an＝2nan－1，n≥2， 所以＝2n, ＝2n－1，＝2n－2，…，＝22， 累乘得：···…·＝2n·2n－1·2n－2·…·22, n≥2，n∈N*， 所以＝＝，n≥2，n∈N*. 由于a1＝1，所以an＝，n≥2，n∈N*. 显然当n＝1时，a1＝1满足an＝， 所以an＝，n∈N*. 考点二　数列求和——依“项”办“事” 1．数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并． (2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列． 2．常见的拆项公式 (1)若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为d(d≠0)，则＝； (2)＝； (3)＝. 角度1 分组转化法求和 例 2 [2022·陕西宝鸡三模]已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且an＋2＝an＋1＋2an.记bn＝an＋1＋an. (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列的前n项和． 解析：(1)证明：∵＝＝＝＝2， 且b1＝a1＋a2＝2≠0，∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，bn＝2n，则bn＋2n＝2n＋2n， 令{bn＋2n}的前n项和为Sn， 则Sn＝＝2n＋1－2＋n2＋n＝2n＋1＋n2＋n－2. 归纳总结 利用分组法求和的3个关键点 会“列方程” 会利