3.5.3 第3讲　圆锥曲线的综合问题课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第3讲　圆锥曲线的综合问题 考点一　证明问题——等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 例 1 [2022·全国乙卷]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B(，－1)两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解析：(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 将点A(0，－2)，B(，－1)的坐标代入，得解得 所以椭圆E的方程为＝1. (2)证明：方法一　设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由题意，知直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2)． 联立得方程组 消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1)．由A，B，T三点共线，得＝，得x0＝y1＋3.设H(x′，y′)． 由＝，得(y1＋3－x1，0)＝(x′－y1－3，y′－y1)，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， 所以直线HN的斜率k＝＝＝， 所以直线HN的方程为y－y2＝·(x－x2)． 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2 ＝＋y2 ＝ ＝ ＝－2. 所以直线NH过定点(0，－2)． 方法二　由A(0，－2)，B(，－1)可得直线AB的方程为y＝x－2. a．若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x＝1.将直线方程x＝1代入＝1，可得N(1，)，M(1，－)． 将y＝－代入y＝x－2，可得T(3－，－)． 由＝，得H(5－2，－)． 此时直线HN的方程为y＝(2＋)(x－1)＋， 则直线HN过定点(0，－2)． b．若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得方程组 消去y并整理，得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0. 所以则 且x1y2＋x2y1＝.① 联立得方程组，可得T(＋3，y1)． 由＝，得H(3y1＋6－x1，y1)． 则直线HN的方程为y－y2＝(x－x2)． 将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0.② 将①代入②，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立． 综上可得，直线HN过定点(0，－2)． 归纳总结 圆锥曲线中证明题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决． 对点训练 [2022·河南省淮阳中学模拟]已知直线y＝3与曲线C：x2＋2py＝0的两个公共点之间的距离为4. (1)求C的方程； (2)设P为C的准线上一点，过P作C的两条切线，切点为A，B，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，直线AB的斜率为k0.证明：k1·k2为定值，且k1，k0，k2成等差数列． 解析：(1)将y＝3代入x2＋2py＝0，得x2＝－6p. 当p≥0时，不合题意； 当p<0时，x＝±，则2＝4， 解得p＝－4，故C的方程为x2＝8y. (2)证明：由(1)可知C的准线方程为y＝－2， 不妨设P(m，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设过点P且与C相切的直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－m)－2，且k≠0， 联立得x2－8kx＋8(km＋2)＝0， 则Δ＝64k2－32(km＋2)＝0，即k2－mk－1＝0， 由题意知，直线PA，PB的斜率k1，k2为方程k2－mk－1＝0的两根， 则k1＋k2＝，k1k2＝－1，故k1·k2为定值． 又x2－8kx＋8(km＋2)＝(x－4k)2＝0， 则x1＝4k1，同理可得x2＝4k2， 则k0＝＝＝， 因此k0＝＝，故k1，k0，k2成等差数列． 考点二　定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助