3.7.2 第2讲　不等式选讲课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第2讲　不等式选讲 考点一　不等式的证明——看“目标”，找“条件”，想“联系”，用“转化” 算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥ ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 例 1 [2022·全国乙卷]已知a，b，c都是正数，且＝1，证明： (1)abc≤； (2). 证明：(1)因为a，b，c都是正数， 所以＝3，当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号． 因为＝1，所以，即abc≤. (2)方法一　因为a，b，c都是正数， 所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号． 所以2)≤2)＝＝1，所以. 方法二　要证成立，只需证成立即可． 因为a，b，c都是正数， 所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2 ，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号． 所以＝，得证． 归纳总结 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法． (2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的． (3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾． 对点训练 [2022·全国甲卷]已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则≥3.   证明：(1)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，(a2＋b2＋4c2)(1＋1＋1)≥(a＋b＋2c)2，即(a＋b＋2c)2≤9，且a，b，c均为正数， 所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立． 所以a＋b＋2c≤3. (2)方法一　3＝3＝3. 由b＝2c，a＋b＋2c≤3得 3＝3≥(a＋b＋2c)≥(···)2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以≥3. 方法二　因为b＝2c，由(1)知a＋b＋2c≤3， 所以×3≥(a＋4c)＝1＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝2c时等号成立．所以≥3. 考点二　含绝对值不等式的解法——掀起“绝对值”的盖头 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集． 例 2 [2022·河南开封市东信学校]已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)设x∈R时，f(x)的最小值为M.若正实数a，b，满足a＋b＝M，求的最小值． 解析：(1)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≤5， 当x≤－2时，不等式化为－x＋1－x－2≤5，解得x≥－3，此时－3≤x≤－2； 当－2<x<1时，不等式化为－x＋1＋x＋2＝3≤5，恒成立，此时－2<x<1； 当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋2＝2x＋1≤5，解得x≤2，此时1≤x≤2. 综上所述，不等式的解集为[－3，2]. (2)f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≥|x－1－x－2|＝3.所以M＝3，即a＋b＝3. 所以(a＋1)＋(b＋2)＝6， 所以＝[(a＋1)＋(b＋2)]＝×(2＋2)＝， 当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝2，b＝1时取等号． 即的最小值为. 归纳总结 绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a； (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号； (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解； (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解； (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对