3.5.2 第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质 考点一　圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程 圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准 方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>0，b>0) y2＝2px (p>0) 图形 例 1 (1)[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　) A．＝1　　　　B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 答案：B 解析：由椭圆C的离心率为，可得e＝＝＝.化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组解得所以C的方程为＝1.故选B. (2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，且点M(2，)在C上，则双曲线C的标准方程为(　　) A.x2－＝1 B．＝1 C．－y2＝1 D．＝1 答案：B 解析：依题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)，半焦距c， 则离心率e2＝＝＝1＋＝4，有b2＝3a2， 而点M(2，)在C上，即＝1，即＝1，解得a2＝3，b2＝9， 所以双曲线C的标准方程为＝1.故选B. 归纳总结 1．关于圆锥曲线定义的应用 对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化． 2．关于圆锥曲线方程的求法 定型 确定曲线类型 计算 利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p 对点训练 1.[2022·湖南周南中学期末]已知椭圆C：＝1的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为(　　) A．10　　　B．15　　　C．20　　　D．25 答案：C 解析：由题意，椭圆的长轴为2a＝2＝10，由椭圆定义知AF1＋F1B＝2a，AF2＋BF2＝2a， ＝AB＋AF2＋BF2＝AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝4a＝20，故选C. 2．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．＋1 答案：A 解析： 如图所示，由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1，0)，又N(1，0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. 考点二　圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合 　圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝________＝__________； ②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝______＝__________． (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标： ①双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)； ②双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)． ±x ±x (3)抛物线的焦点坐标与准线方程： ①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为x＝________； ②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为y＝________． ∓ ∓ 例 2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：A 解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1)．由题意，得点A(－a，0)．又直线AP，AQ的斜率之积为，所以·＝，即＝　①.又点P在椭圆C上，所以＝1　②.由①②，得＝，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选A. (2)[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x