第八章 8.3　第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第八章 立体几何初步 8.3　简单几何体的表面积与体积 第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习 目标 1. 知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． 2. 知道球的表面积和体积的计算公式． 3. 能用公式解决简单的实际问题. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　求圆柱、圆锥、圆台的表面积 　 (课本P118例3补充)已知圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱和圆锥的表面积之比． 1 素养养成·学透教材 已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为__________. 【解析】 设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7. 7 素养养成·学透教材 规律总结：求旋转体表面积的要点： (1) 因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键； (2) 对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法； (3) 在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程． 素养养成·学透教材 类型2　求圆柱、圆锥、圆台、球的体积 　(1) 已知圆台的高为3，如图(1)，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为______________. (例2(1)) 2 21π 素养养成·学透教材 (例2(2)) 素养养成·学透教材 (2) (课本P119例4补充)已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积和体积． (例2(3)) 素养养成·学透教材 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( ) A. 1 B. 1∶2 D 素养养成·学透教材 规律总结：(1) 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得． 素养养成·学透教材 类型3　球的截面及切、接问题 　 (1) 已知一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，则球的表面积为____________________cm2. 3 【解析】 当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R cm，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.同理，得O1A＝20 cm.设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202①，在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2②，联立①②可得x＝15，R＝25.所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，故球的表面积为 2 500π cm2. 2 500π 素养养成·学透教材 当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.设球的半径为R，因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm.因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm.设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49，所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500π cm2. (例3(1)) (例3(2)) 素养养成·学透教材 (2) 在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为_____________. (例3(3)) 素养养成·学透教材 (例3(4)) 素养养成·学透教材 规律总结：切接问题的处理规律为： “切”的处理主要是先要找准切点，通过作截面来解决；“接”的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 17 1. 已知圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，那么这个圆台的体积是( ) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 D 课堂评价·及时反馈 A. 6π B. 12π C. 18π