7.4.2 超几何分布 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 3.了解二项分布与超几何分布的区别与联系. 问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为 X，求随机变量 X 的分布列. 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时 X 服从二项分布，即 . 思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数 X 是否也服从二项分布？如果不服从，那么 X 的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合 n 重伯努利试验的特征，因此 X 不服从二项分布. 可以根据古典概型求 X 的分布列.由题意可知，X 可能的取值为0，1，2，3，4. 从100件产品中任取4件，样本空间包含 个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有 k 件次品的结果数为 . 由古典概型的知识，得 X 的分布列为 一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品. 从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 记为 . 其中 思考：两点分布、二项分布、超几何分布有什么区别和联系？ 在 n 次试验中，某事件 A 发生的次数记为 X 1．当 时，X 服从两点分布，两点分布是特殊的二项分布. 2．①当这 n 次试验是 n 重伯努利试验时(如有放回摸球)，X 服从二项分布； ②当 n 次试验不是 n 重伯努利试验时(如不放回摸球)，X 服从超几何分布. 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 6 例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，并说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 X，求 X 的分布列； (2)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为 X，求 X 的分布列； (3)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为 X，求 X 的分布列． 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是否为不放回抽样； (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．　 1.下列随机变量中，不服从超几何分布的有(　 ) A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为 X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记 X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量 X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为 X C 超几何分布的概率 例2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 X 表示所选3人中女生的人数． (1)求 X 的分布列和均值； (2)求“所选3人中女生人数 ”的概率． 解：(1)由题 X 服从超几何分布，可能取值为0，1，2， ， ， 分布列如表所示 X 0 1 2 P (2)由(1)知“所选3人中女生人数 ”的概率为 1.求超几何分布的分布列的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数 N，M，n 的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列. 2.超几何分布的均值 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率. 则 . 2.现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为 . (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为 X，求 X 的分布列和均值． 解：(1)设甲班的学生人数为 n，则 ， 即 ，解得 或 (舍去)． ∴7名学生中甲班的学生共有3人． (2)由题意可知，X 服从超几