7.1.2 全概率公式课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率. 2.了解贝叶斯公式. 通过上一节的学习，我们知道，在求一个复杂事件的概率时，可以先将其表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 下面，我们再看一个求复杂事件概率的问题. 思考：从有 a 个红球和 b 个篮球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 .但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导过程. 用 Ri 表示事件“第 i 次摸到红球”，Bi 表示事件“第 i 次摸到篮球”，i =1，2. 如图所示，事件 R2 可按第1次可能的摸球结果表示为两个互斥事件的并，即 . P(R2 | R1) P(B2 | R1) P(R2 | B1) P(B2 | B1) 利用概率的加法公式和乘法公式，得 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 一般地，设A1，A2，···，An是一组两两互斥的事件， ，且 ， ，则对任意的事件 ，有 全概率公式 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 对全概率公式的理解 使用全概率公式计算目标事件 B 的概率，必须是找到样本空间 Ω 的一个事件组 A1，A2，…，An，它们满足：①两两互斥；② ，而这一事件组恰恰可以理解为是事件 B 产生的几个原因．全概率公式相当于将产生 B 的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在． 直观解释为如图，B 发生的概率与 有关，且 B 发生的概率等于所有这些概率的和，即 例1.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲班的人数占总数的 ，乙班的人数占总数的 ，其中甲班中女生占甲班人数的 ，乙班中女生占乙班人数的 . 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 两个事件的全概率公式 解：设A1=“调查的是甲班的同学”，A2=“调查的是乙班的同学”，B=“调查的同学是女生” ，则 ，且 A1，A2互斥， ， 由题意可知， ， ，且 ， ， 由全概率公式可知 全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2(或 A 与 )； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率就是各种可能情形 Ai 发生的可能性与已知在 Ai发生的条件下事件 B 发生的可能性的乘积之和，即 ． 1.某学校有 A，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去 A 餐厅，那么第2天去 A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去 B 餐厅，那么第2天去 A 餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去 A 餐厅用餐的概率. 解：设A1=“第1天去 A 餐厅用餐”，B1=“第1天去 B 餐厅用餐”，A2=“第2天去 A 餐厅用餐”，则 ，且A1与B1互斥. 根据题意得 ， ， . 由全概率公式，得 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 多个事件的全概率公式 例2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率. 解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai =“零件为第 i 台车床加工”(i=1，2，3)，则 ，且A1，A2，A3两两互斥. 根据题意得 ， ， ， ，