8.3.2.2 球的表面积和体积 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第三节（8.3.2.2）球的表面积和体积 同步练习 一、单选题（共8题） 1．一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 2．正三棱锥的底面边长等于球的半径，且正三棱锥的高等于球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ） A． B． C． D． 3．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（ ） A． B．4 C． D．. 4．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．已知某多面体的三视图均是边长为正方形，若该多面体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（ ） A．1:1 B．3:2 C． D． 8．在直三梭柱中，，且三梭柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共2题） 9．若三个球的体积之比为，则这三个球的表面积之比为______． 10．已知长方体的顶点都在球O的表面上，且，则球O的表面积为___． 三、解答题（共2题） 11．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． (1)求这种“浮球”的体积； (2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆，共需多少防水漆？ 12．如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球球A和球，圆柱的底面直径为，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 (1)求球A的体积； (2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】依题意正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，利用勾股定理求出直径，再根据体积公式计算可得； 【详解】解：因为正方体的棱长为，所以其体对角线为， 所以外接球的直径即为，即外接球的半径， 所以外接球的体积； 故选：D 2．C 【分析】设球的半径，由球的体积公式及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，球的体积为，正三棱锥的底面积，， 棱锥的体积为.所以. 故选：C. 3．B 【分析】根据正方体外接球的直径即为正方体的体对角线及球的体积公式求出外接球的半径，即可得解； 【详解】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为， 则，解得，所以正方体的体对角线等于； 故选：B 4．A 【分析】根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径，为球体的半径，根据球的性质得平面，所以即为到平面的距离，所以，再分别求出所需数据即可. 【详解】根据题意作出如下示意图，设为外接圆的圆心，所以为外接圆的半径， 为球体的半径，根据球的性质得平面，所以即为到平面的距离， 所以，因为是面积为的等边三角形， 所以底边的高为：， 所以面积为：，所以， 所以底边高为：，所以， 因为球的体积，解得，即， 所以到平面的距离为：. 故选：A. 5．C 【分析】分析可得该多面体的外接球即为棱长为的正方体的外接球，又正方体的体对角线为外接球的直径，即可得外接球半径R，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为多面体的三视图均是边长为正方形， 所以该多面体的外接球即为棱长为的正方体的外接球， 设外接球半径为R，则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：C 6．B 【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出. 【详解】由已知条件，设球的半径为r， 可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r， 则圆柱的表面积， 体积， 球表面积， 体积， ． 故选：B. 7．B 【分析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，然后表示出圆柱的表面积和球的表面积，相比即可 【详解】设球的半径为，则由题意得圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的表面积为， 球的表面积为， 所以圆柱与球的表面积之比为， 故选：B 8．C 【分析】根据题意，可将棱柱补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积． 【详解】解：三棱柱的侧棱垂直于底面，，，， 可将棱柱补成长方体，且长方体的长宽高分别为3,4,12. 长方体的对角线，即为球的直径. 球的半径， 球的表面积为. 故选：C． 9． 【分析】根据球的表面积