二次函数综合2023年九年级数学中考复习题

二次函数大题突破 专题一【线段最值】 1.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值． （3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值． 2.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标； （3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ 3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0）， （1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式； （2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标； （3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长． 4．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标； （3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由． 专题二【面积问题】 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】在平面直角坐标系中，已知、、，求△ABC的面积． 【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： 构造矩形ADEF，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： 此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距离． 由题意得：AE+BF=6． 下面求CD： 根据A、B两点坐标求得直线AB解析式为： 由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4， 将4代入直线AB解析式得D点纵坐标为2， 故D点坐标为（4,2），CD=5, ． 【方法总结】 作以下定义： A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求A、B两点水平距离，即水平宽； （2）过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C； （3）求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标； （4）根据C、D坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 5.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当P在何处时，△ACE面积最大． 6.如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB、PC、BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 7.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上直线BC上方的一动点，求△PBC面积的最大值，并求出点P坐标； （3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，求△QAC周长的最小值． 专题三【等腰三角形、直角三角形存在性问题】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A