解决排列组合问题的几个常见策略讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

解决排列组合问题的几个常见策略 一、特殊元素和特殊位置优先策略、特殊元素有无策略 【例1】由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数． 【解析】方法一：位置分析 由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置． （1）先排末位共有 （2）然后排首位共有 （3）最后排其它位置共有 由分步计数原理得 方法二：元素分析 第1类：没有0． （1）先排末位共有 （2）排其它位置共有 由分步计数原理得 第2类：有0． （1）先排末位共有 （2）排0，只有中间三个数位可选，共有 （3）最后排其它位置共有 由分步计数原理得 综上，共有个符合条件的数字． 方法三：间接法 末位是奇数的排法有 末位是奇数，首位是0的排法有 ∴共有个符合条件的数字． 【方法总结】解决“元素”、“位置”问题时，有3种思考方向 1、可以先确定特殊位置上的元素，再确定非特殊位置上的元素．本质上是应用分步计数原理． 2、对于特殊元素，可以分为“有和无”两类思考. （1）“有特殊元素”的类，先确定特殊元素所在的位置，再去排其他位置上的元素； （2）“无特殊元素”的类，根据题意，直接利用排列的概念和排列数公式解决． 3、从对立面思考问题，用总数减去对立面就是所求的. 先不考虑限制条件（或是只考虑一个限制条件），计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数．当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．常常会使用的如下公式： 二、相邻元素捆绑策略 【例2】7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻， 共有多少种不同的排法． 【解析】可先将甲乙捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有种不同的排法． 【变式】用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1，5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 【解析】把1524当作一个小集团（即“捆绑”）与3排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法． 【例3】5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有 种． 【解析】 【变式】计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画， 排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式有 种数． 【解析】由题意，水彩画只能在国画的整体和油画的整体之间，故有 【例4】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 种装法． 【解析】需要分步进行 （1）从5个球中选出2个捆绑成一个整体共有种方法 （2）把上一步的整体和剩余的3个球看作4个元素，然后装入4个不同的盒内有种方法 根据分步计数原理，共有种装法． 【方法总结】要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题．即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可能需要排列． 三、不相邻问题插空策略 【例5】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 【解析】分步进行 （1）排2个相声和3个独唱共有种， （2）上一步排好后形成6个空隙，将舞蹈节目放入空隙即可，共有种不同的方法 由分步计数原理，共有种出场顺序． 【变式】7人站成一排 ，其中甲乙相邻，但丙丁不相邻，共有多少种不同的排法 【解析】甲乙相邻看作一个整体，和除了丙丁的3个人形成4个整体，4个整体排好后，形成5个空隙，因此有种不同的排法． 【例6】某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和 1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个 宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？ 【解析】第一类：最后一位是宣传广告， （1）先排最后一位，有种方法 （2）由于“宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放”，则倒数第二位就是商业广告．种方法． （3）排前四位，剩下一个宣传广告，一个公益广告，两个商业广告，此时宣传和公益不能相邻，故先排两个商业广告，然后宣传和公益插空，故有种方法 由分步计数原理，共有种播放方式． 第二类：最后一位是公益广告 （1）先排最后一位，有1种方法 （2）由于“宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连续播放”，则倒数第二位就是商业广告．种方法． （3）排前四位，剩下两个宣传广告，两个商业广告，此时宣传广告不能相邻，故先排两个商业广告，然后两个宣传广告插空，故有种方法 由分步计数原理，共有种播放方式． 综上，共有72＋36＝108种播放方式． 有时候，需要