考点02 平面向量数量积及其应用9种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点02 平面向量数量积及其应用9种常见考法归类 1. 向量的数量积 (1)向量数量积的定义 ①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. ②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. ③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量的投影 ①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. ②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe. (3)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos_θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　 ④|a·b|≤|a||b|. (4)向量数量积运算的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (5)数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；＝. 　 ②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ③≤. ④设θ是a与b的夹角，则 cosθ＝＝. (6)数量积的有关结论 ①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ③a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. (7)平面向量与平面几何综合的有关结论 ①若，为非零向量，则给出·＝0，等价于已知MA⊥MB；给出·＜0，等价于已知∠AMB是钝角或两向量反向共线；给出·＞0，等价于已知∠AMB是锐角或两向量同向共线. ②给出λ＝，等价于已知MP是∠AMB的角平分线. ③在▱ABCD中，给出(＋)·(－)＝0，等价于已知▱ABCD是菱形；给出|＋|＝|－|，等价于已知▱ABCD是矩形. 2、求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 3、解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 4、求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 5、解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 考点一 向量数量积的运算律 考点二 向量数量积的运算 （一）定义法 （二）基底法 （三）投影法 （四）极化恒等式法 （五）坐标法 考点三 利用向量数量判断平面图形形状 考点四 向量数量积的最值问题 考点五 向量的垂直问题 考点六 向量的模 考点七 向量的夹角问题 考点八 向量的投影问题 考点九 平面向量数量积与三角函数的综合 考点一 向量数量积的运算律 1．【多选】（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B．若与平行，与平行，则与平行 C．若且则 D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积 2．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）对于任意的平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B．若，且，则 C．若且，则 D． 3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）在等式①；②；③；④若，且，则；其中正确的命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 向量数量积的运算 （一）定义法 4．（2023秋·