2022-2023学年高二物理竞赛课件：刚体的平面运动微分方程

刚体的平面运动微分方程 例: 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求 (1) 圆柱B下落时质心的加速度。(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。 刚体的平面运动微分方程 2 解：(1)取圆柱A为研究对象 (a) 再取圆柱B为研究对象 (b) (c) 由运动学知识： 由（a）、（c）知 得 刚体的平面运动微分方程 3 (2)取圆柱A为研究对象 再取圆柱B为研究对象 由运动学知识： 联立上面四式，得 当M >2mgr 时， 即圆柱B的质心将上升。 若设初始时vC0=0，则 刚体的平面运动微分方程 4 例：均质实心圆柱体A和均质薄铁环B的质量均为m，半径都等于r ，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。 刚体的平面运动微分方程 5 解：先取薄铁环B为研究对象 所以 再取圆柱体A为研究对象 所以 解得 由运动学知 由运动学知 刚体的平面运动微分方程 6 例 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。 解：选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。 由定轴转动微分方程 刚体的平面运动微分方程 7 根据质心运动微分方程，得 刚体的平面运动微分方程 8 例：均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f '，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。 刚体的平面运动微分方程 9 例：在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1,船长l，水的阻力不计。求船的位移。 解：取人和船为研究对象。 且 因 所以 取图示坐标。在人走动前，质心的坐 标为 人走到船尾时,船位移的距离为s,则 质心的坐标为 由于 解得 10 R r O A C B a M b Fy Fx x y m1g m2g aC aA FN mg 由质心运动定理 以小车为研究对象， 联立求解以上各式，得： 11 第九章 动量矩定理 结 束 12 $