2022-2023学年高二物理竞赛课件：刚体绕定轴的转动微分方程

刚体绕定轴的转动微分方程 解: 取轮A为研究对象 再取轮B和物体C为研究对象 因为 得 刚体绕定轴的转动微分方程 2 例：飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度ω0 绕轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。 解以轮为研究对象， 取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为： 积分 解得 F FN 其受力分析如图示 刚体绕定轴的转动微分方程 3 刚体绕定轴的转动微分方程 主动力：F1 ，F2 ，……，Fn 轴承约束力：FN1 ，FN2 由质点系对z轴的动量矩定理，有 或 上式也可写成 或 以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。 转动惯量是刚体转动惯性的度量。 4 例：水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为ω0 。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成θ角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω 。 5 例: 提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2 , 半径分别为 r1、r2 ,物体C 的质量为m3 ，轮A上作用常力矩M1 。求物体C上升的加速度。 刚体绕定轴的转动微分方程 6 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的转动惯量(moment of inertia)定义为 由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。 在国际单位制中其单位为 kg•m2。 转动惯量恒为正值。 7 简单形状物体的转动惯量计算 （1）均质细直杆对于z轴的转动惯量 设杆长为l，单位长度的质量为ρ,取杆上一微段dx，其质量m=ρdx，则 杆的质量 于是 8 （2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 设圆环质量为m，质量mi到中 心轴的距离都等于半径R，所以圆 环对于z轴的转动惯量为 即 9 ，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量 （3）均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的半径为R，质量为m 。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为 式中 或 10 回转半径（或惯性半径）定义为 如已知ρz ，则 即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。 11 三、 平行轴定理 设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的 z1 轴的转 动惯量为JZc，刚体对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量 为JZ，两轴间距离为d。 因为xi=x1i，yi=y1i+d ，于是 §9-4 刚体对轴的转动惯量 12 $