6.2.3组合、6.2.4排组合数 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 复习回顾 2. 排列数公式 3. 全排列     1. 排列数的定义   问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 甲乙， 甲丙， 乙丙 问题引入 从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组 有顺序 无顺序 排列 组合 甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙 探究新知 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 注意： (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 组合定义: 思考：如何区分排列问题还是组合问题？ 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 练习：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题： (1)从中选3辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 没有顺序，是组合问题 有顺序，是排列问题 例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？ (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？ (4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 解：(1) 是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数． (2) 是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变． 例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多少个？ (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？ (4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？ 解：(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的． 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析: (1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题; (2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题. 解： 结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ ？ 思考 从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 组合数概念: 例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数, 表示为, 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. 探究！前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系. 从3个不同元素中取出2个元素的组合数 =3. 运用同样的方法, 我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数. 设这4个元素为a, b, c, d，那么从中取出3个元素的排列数=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数=4. 组合 排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb