11.3解三角形课件-人教版（2018） 中职数学第三册（山东人教）

11.3解三角形（余弦定理、三角形面积、正弦定理） 1 目录页 教学背景 教学目标 教学重难点 教学过程 2 地位和作用 在生产实践和科学实验中，将常会遇到由三角形已知的边和角求未知的边和角的问题，余弦定理和正弦定理揭示了任意三角形中边和角之间的关系。 教学情境分析 3 能力目标 情感目标 掌握 余弦定理、正弦定理公式以及会求三角形面积，了解正余弦定理的推导过程。 通过本课题的学习，提高通过数形结合等数学思想、解决三角形实际问题的能力，为以后学习打好基础 。 通过课堂交流，培养小组合作解决问题的能力。 知识目标 教学目标 能力目标 情感目标 4 余弦定理、正弦定理、三角形面积公式 解三角形的实际应用问题 把实际问题转化成数学问题的能力 重点 难点 关键 教学重点 5 巩固训练 (10分钟) 课堂总结 （5分钟） 布置作业 （5分钟） 导入新课 (3分钟) 讲授新课 （22分钟） 课堂检测 （7分钟） 教学过程 6 之前我们已经学习过直角三角形这类特殊三角形的解法。那一般三角形该如何去求解那？我们今天一起来探究一下。 创设情境 导入新课 7 知识点一、余弦定理 1、定义：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍． 在△ABC中，三边及边长a，b，c所对的内角分别是A，B，C，则 a2＝b2＋c2－2bc·cosA； b2＝__________________； c2＝__________________； 。 讲授新课： a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosA 8 注：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 还可以变形为cosA＝ cosB＝________________； cosC＝________________. 变形 2．余弦定理的应用 (1)求三角形的未知元素 ①已知三角形的两边及其夹角求其他元素； ②已知三角形的三边求其他元素． (2)判断三角形的形状：通过三角形最大边所对角的余弦值，来判断三角形的形状． 【例1】　在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，那么该三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不正确 3．解三角形中一些隐含的条件 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π；(2)∠A>∠B⇔a>b；(3)在直角三角形中，若角C为直角，则有∠A＋∠B＝ ，a2＋b2＝c2，sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ . 4．利用余弦定理判断三角形的形状 a2＋b2－c2>0⇔角C为锐角； a2＋b2－c2＝0⇔角C为直角； a2＋b2－c2<0⇔角C为钝角． 即通过求三角形最大边所对角的余弦值，来判断三角形的形状． 【解析】　∵三角形中大边对大角，因此边c所对的角C最大， 由余弦定理得cosC＝ ＝ <0， ∴角C为钝角，∴三角形为钝角三角形，故选C. 【例2】　如图所示，在△ABC中，AB＝ ＋1，AC＝2，BC＝ ，求： (1)三角形的三个内角A，B，C； (2)AC边上的中线BE的长． (1)∠A＝30°，∠B＝45°，∠C＝105° 【解析】　已知三边的长度，根据余弦定理可以求出三边所对应的角；在△ABE中，由AB，AE和∠A可以求BE的长． (1)cosA＝ ∵角A是三角形的一个内角，∴∠A＝30°， cosB＝ ∵角B是三角形的一个内角，∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－30°－45°＝105°. 【例3】　在△ABC中，三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形另一边的长度为(　　) A．52 　　　B． 　　　　C．16 　　　D．4 【解析】　本题通过解出一元二次方程的根得出余弦值后，再利用余弦定理解得． ∵方程5x2－7x－6＝0的根是x＝2或x＝ ，∴cosα＝ 或cosα＝2(舍去)， 设另一条边的长度为m，则由余弦定理得m2＝52＋32－2×5·3cosα＝34－30× ＝52，∴m＝ 课堂巩固训练： 【举一反三1】　在△ABC中，a＝4，b＝3，c＝2，则ΔABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【提示】 在△ABC中，∵a＝4，b＝3，c＝2，∴a边最大，∠A为最大角．由余弦定理，得cosA＝ （9+4-16）/12=-1/4<0，∴∠A为钝角，故选B. 【举一反三2】　在△ABC中，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，求角C的大小． 【思路点拨】　应用余弦定理来推导，将上式化简成a2＋