6.1.1 两角和与差的余弦公式（教案）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2021·拓展模块一下册）

6.1.1 两角和与差的余弦公式 学习目标 知识 能力与素养 （1）使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；（2）使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题． （1）培养学生逆向思维，数形结合的意识和习惯； （2）培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； （3）培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 学习重难点 重点 难点 通过探索得到两角差的余弦公式；两角和的余弦公式的探究． 探索过程的组织和适当引导学习评价设计． 教材分析 两角和与差的余弦具有承上、启下的作用。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和与差的正弦、正切和二倍角公式的基础。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。. 学情分析 学生的自主概括能力有待提高，故采用主讲练结合式教学，提高学生对知识的整体把握能力． 教学工具 教学课件 课时安排 2课时 教学过程 6.1.1 两角和与差的余弦公式 （一）创设情境，生成问题 在基础模块，我们学习了三角函数的诱导公式： sin(2k＋)= sin； cos(2k＋)= cos； tan(2k＋)= tan. sin(π+)=−sin； cos(π+)=−cos； tan(π+)=tan. sin(−α) )=sinα ； cos(−α)=−cosα； tan(−α)=−tanα. 现实中,很多与三角函数有关的实际问题常常涉及两个任意角的和(或差)的三角函数.为此，我们进一步学习两角和与差的三角函数公式. 早在公元2世纪，人们就推导出了两角和与差的余弦公式. 随着时间的推移和研究的深入,现在数学中已很少使用公元2世纪的推导方法，而是首先推导两角差的余弦公式,再通过诱导公式得到两角和的余弦公式.那么现在是怎样推导两角差的余弦公式的呢？ 【设计意图】利用特殊到一般的方法说明和角公式解决的问题，结合数学史激发学生学习兴趣. （二）调动思维，探究新知 如图所示，设单位圆与x轴的交点为P1，角α、β和β-α的终边与单位圆的交点分别为P2、P3和P4，则点P1、P2、P3、P4的坐标分别为(1,0)、(cosα,sin α)、(cos β,sinβ) 、(cos (β-α),sin (β-α)). 当P2、O、P3不在同一条直线上时， ∠P2OP3=∠P4OP1=α-β， 且 |OP1|=|OP2|=|OP3|=|OP4|=1， 因此 ΔP2OP3≌ΔP1OP4， 所以 | P2P3|=| P1P4|. 当P2、O、P3在同一条直线上时，容易看出也有| P2P3|=| P1P4|. 根据两点之间的距离公式，可得 整理可得： 由诱导公式，得 在上式中，以代替，得到 即 于是，我们得到两角和与差的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ Cα+β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ Cα-β 【设计意图】利用解析法研究两角和与差的余弦公式，解析法对近代数学的机械化证明提供了有力的工具. （三）巩固知识，典例练习 【典例1】求cos15°的值. 解：cos15°=cos(45°-30°) = cos45°cos 30°+sin45°sin 30° = 【设计意图】如果一个角可以化成两个特殊角的和或差，就可以用和角公式求解. 【典例2】已知并且α、β都是第一象限角，求的值. 解：因为并且α、β都是第一象限角， 所以 因此 【设计意图】强调注意角的范围. 【典例3】证明： 证明：因为 = 所以 【设计意图】与本节开始复习的诱导公式相呼应. 探究与发现 化简： （1） （2） （四）巩固练习，提升素养 （    ） A． B． C． D． 解：. 故选：A. 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 （五）巩固练习，提升素养 1.求下列各式的值. （1）cos105° ； (2) cos75° ； (3) cos55°cos10°+sin55°sin10° ； (4) cos²22.5°-sin²22.5°. 2. 已知 3. 证明： 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 （六）课堂小结，反思感悟 1.知识总结： 2.自我反思： （1）通过这节课，你学到了什么知识？