7.1条件概率与全概率公式 同步复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 12 条件概率与全概率公式 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则P(B|A)＝. （2）条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1. ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 知识链接02 概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝___________.P(A)P(B|A) 应用乘法公式求概率的关注点 （1）功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时， 可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)， 再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解. （2）推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0， 则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A). 知识链接03 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有___________________. （1）两个事件的全概率问题求解策略 ①拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与). ②计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. ③求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). （2）多个事件的全概率问题求解策略 “化整为零” ①如图： ②已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)， 事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 知识链接04 *贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0， 有_________________________________ _，i＝1,2，…，n. ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 利用定义求条件概率 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率________． （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率________． （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率________． （4）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率________． （5）在第2次抽到舞蹈节目的条件下，第1次抽到语言类节目的概率________． （6）在第2次抽到语言节目的条件下，第1次抽到语言类节目的概率________． 典例剖析02 缩小样本空间求条件概率 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数． （1）若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率________． （2）若甲先取(不放回)，乙后取，求乙抽到偶数的概率________． （3）若甲先取(放回)，乙后取，若事件A为“甲抽到的数大于4”，事件B为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)＝________． 典例剖析03 互斥事件的条件概率 （1）某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________． （2）在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为________． （3）抛掷两颗质地均匀的骰子各一次，两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是________． （4）抛掷两颗质地均匀的骰子各一次，两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是________． 典例剖析04 全概率公式 （1）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占. 求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为________． （2）某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品