8.2一元线性回归（第1课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第8章成对数据的统计分析 8.2一元线性回归（第1课时） 1 学习目标 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义. 2.了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理. 宋老师数学精品工作室 １ 一元线性回归分析的基本思想 对于一组有某种线性关系的成对数据，上一节介绍的相关系数分析了数据之间线性关系的方向与程度．但有时我们还需要进一步了解其中一个变量随另一个变量变化的大致情况．更准确地说，我们要找到关联两个变量的一个线性方程，使得在平面直角坐标系上数据所确定的点尽可能地“贴近”方程所定义的直线． 先回到本章８．１节的例１．为了找一条直线去“贴近”数据散点图（图８-１-１）中的各点，甲、乙两名同学分别给出了线性方程： 甲：y＝－０．５x＋５．０， 乙：y＝－０．４x＋４．５ 我们在散点图上把这两个线性方程所定义的直线绘制出来，如图８-２-１所示，其中红色直线是甲的方程所定义的，蓝色直线是乙的方程所定义的． 凭直觉我们很难断定哪条直线与数据点贴近得更好． 至此，我们会提出问题：（１）有没有明确的标准来衡量直线与数据点的贴近程度？（２）如果有这样的标准，如何找出在此标准下最佳的直线？ 要解决这两个问题，可以用下面介绍的回归分析的方法． 一般地，设给定一组有线性相关关系的成对数据（x１，y１）、（x２，y２）、…、（xn，yn）和一个线性方程（或称线性模型） y＝ax＋b． ① 如何描述数据与此线性方程的贴近度呢？ 由于离差可正可负 ， 考虑数据整体与线性方程 ① 的贴近度时 ， 不能简单地用离差的代数和作为指标 ． 我们可以像计算方差那样 ， 用离差的平方和 来刻画直线与点之间的拟合程度 ． Q称为 拟合误差 （ ｆｉｔｔｉｎｇｅｒｒｏｒ ）， 它是一个很好的描述数据与函数贴合程度的指标 ． 我们把拟合误差取得最小值时得到的线性方程 （ 线性模型 ） 记为 并称之为变量 y 随 x 波动的 回归方程 （ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ ） 或 回归模型 （ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ ）， 其中自变量 x称为 解释变量 （ ｅｘｐｌａｎａｔｏｒｙｖａｒｉａｂｌｅ ）， 因变量 y称为 反应变量 （ ｒｅｓｐｏｎｓｅｖａｒｉａｂｌｅ ） ． 回归方程所定义的直线称为 回归直线 （ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｌｉｎｅ ）， 回归方程的系数 （ 或称回归模型的参数 ） ＾ a 与 ＾b 称为 回归系数 （ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ） ． 由一组有某种线性关系的成对数据求其回归方程的方法称为一元线性 回归分析 （ ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ ） 在解决具体问题时，如果数据量不大，可以用上面的公式直接计算出回归系数 与 ，进而得出回归方程．如果数据量大，就要借助统计软件，通过计算机或计算器来实现这一过程了． 下面我们针对本章８．１节中的例１来求回归方程，并理解回归直线与观察值之间的关系 依据表８-１给出的某种商品“年需求量”（y）与“每千克价格” （x）之间的一组观察数据以及所得到的散点图8-1-1，我们已经知道这两个变量形成的数据点大致分布在一条直线的附近，即“年需求量”（y）与“每千克价格”（x）大致呈线性关系，因而可以用线性回归方程来刻画它们之间的数量关系．用回归系数的计算公式可求得 于是所求的回归方程为 这个方程所定义的直线即这组数据的回归直线，它是给定数据点 的最佳拟合直线． 由回归方程，我们可以算出每个 对应的计算值 （结果精确到 0.1），列表８=４如下 有了上述准备，现在我们就能判断本节开始时学生甲和乙给出的线性方程哪个更贴近所给的数据点了．学生乙所给的方程实际上是系数精确度不同的回归方程，如果用这个方程来制作表８-４， 只会出现一些由数据精确度不同引起的小误差；学生甲所给的方程与回归方程有本质的差别 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习８．２（１） １．将学生甲所给的线性方程y＝－０．５x＋５．０作为本章８．１节例１数 据的线性拟合， 计算各数据点的离差，再计算拟合误差．把结果与表８４的数据 相比较，说说你对“最佳拟合”有什么新的理解和体会． ２．两个变量x与y之间的回归方程