专题10 空间向量与立体几何-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（广东专用）

专题10 空间向量与立体几何 一、单选题 1．（2023·广东·统考一模）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【解析】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切， 此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线， 所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即, 故选：C 2．（2023·广东·统考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 3．（2023·广东湛江·统考一模）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和， 正六棱台的两个底面积分别为，， 所以花灯的体积 . 故选：C 4．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面， 在等腰中，，则，， 令的外接圆圆心为，则平面，， 有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即， 从而，四边形为平行四边形，，又， 因此球O的半径， 所以球的表面积. 故选：A 5．（2023·广东茂名·统考一模）已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：均为边长为2的等边三角形，为全等的等腰三角形， 则三棱锥的表面积， 当且仅当，即时，三棱锥的表面积取最大值， 此时为直角三角形，， 取的中点，连接，由直角三角形的性质可得：， 即三棱锥的外接球的球心为，半径为，故外接球体积为. 故选：D. 6．（2023·广东茂名·统考一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为， 因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形， 所以，解得，则或（舍去）， 由得，， 则上半部分的体积为，下半部分体积为， 故蒙古包的体积为. 故选：C. 7．（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形， 则如图，水最少的临界情况为，水面为面， 水最多的临界情况为多面体，水面为， 因为， ， 所以，即. 故选：A. 8．（2023·广东梅州·统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取、中点、，正方形中心，中点，连接， 根据题意可得平面，，点是的中点，， 在等腰中，，， 同理， 则等腰梯形的高为， 根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接， 正方体的外接圆的半径， 则有， 而，， 当点在线段的延长线（含点）时，    视为非负数，若点在线段的延长线（不含点）时，    视为负数， 即有， 则，解得， 则刍甍的外接球的半径为， 则刍甍的外接球的表面积为， 故选：C. 9．（2023·广东佛山·统考一模）已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案