专题09 函数与导数典型大题-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（广东专用）

专题09 函数与导数典型大题 1．（2023·广东·统考一模）已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解. 综上所述，. 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解. 综上所述，. 2．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数． (1)证明：函数只有一个零点； (2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）证明：由可得， 当时，，，所以， 故，故在区间上无零点． 当时，，而，，且等号不会同时取到， 所以， 所以当时，函数单调递增，所以， 故函数在区间上有唯一零点0， 综上，函数在定义域上有唯一零点. （2）由在区间上恒成立，得， 即在区间上恒成立． 设，则在区间上恒成立， 而， ，则． 设，则，当时，， 所以函数在区间上单调递增，故在区间上，， 即在区间上， 设函数，则， 所以函数在区间上单调递增， 故在区间上，即在区间上，， 所以在区间上，，即， 所以在区间上函数单调递增． 当时，，故在区间上函数， 所以函数在区间上单调递增． 又，故，即函数在区间上恒成立． 当时，， ， 故在区间上函数存在零点，即， 又在区间上函数单调递增， 故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减， 又，所以在区间上函数，与题设矛盾． 综上，a的取值范围为. 3．（（2023·广东广州·统考一模）已知，函数. (1)若，证明：当时，： (2)若函数存在极小值点，证明： 【解析】（1）若，则，设， ，设， ，则在上单调递增，，即， 于是在上单调递增，，即， 所以当时，. （2）函数，其定义域为， ， 由（1）知在上单调递增，， 当时，，当时，， 则由，解得或，其中且，即且， 否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意， 若，即，当时，， 当时，，则在上单调递增， 在上单调递减，因此是的极小值点，， 若，即，当时，， 当时，，则在上单调递增， 在单调递减，因此是的极小值点， ，又，于是， 综上所述，函数存在极小值点. 4．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线过点，求a的值； (2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数； (3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值. 【解析】（1）由条件得：  ∴， 又  ∴在处的切线为：， ∵的图象在处的切线过点， ∴  ∴. （2） 令，，则， 令，， ∴在递减 ， ∴，即 ∴在递减， ∴，即， ； （3）的定义域为：，， 时，由得：，， 时，；时，；时，， ∴在，上单调递增，在递减 ， ∴至多有三个零点. ∵，∴，∴， 又，在递减， ∴，又由（2）知，所以， 结合零点存在定理知：使得， 又∴，， ∴，又， ， ∴恰有三个零点：，1，， ∴时，的所有零点之积为（定值）. 5．（2023·广东梅州·统考一模）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，讨论函数的零点个数. 【解析】（1）当时，，该函数的定义域为， ， 由可得，由可得或. 故当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）函数的定义域为， ， 由，得，， 由可得，由可得或. 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为， 极小值为， 当时，， 令，其中， 则，即函数在上单调递增， 故当时，， 此时，，所以在上不存在零点； ①当时，，此时函数无零点； ②当时，，此时函数只有一个零点； ③当时，，， 则在与上各有一个零点. 综上所述，（i）当时，在上不存在零点； （ii）当时，在上存在一个零点； （iii）当时，在上存在两个零点. 6．（2023·广东茂名·统考一模）若函数有两个零点，且. (1)求a的取值范围； (2)若在和处的切线交于点，求证：. 【解析】（1） 当，，在上单调递减，不可能两个零点； 当时，令得 ，，单调递增，，，单调递减， ∵，；；， ∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意， 综上：； （2）先证右边：令则， ∴，，单调递增，，，单调递减， ∴的最大值为，∴，即， ∴且， ∴， 又∵，∴， ∴；