专题06 解三角形-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（广东专用）

专题06 解三角形 1．（2023·广东东莞·统考一模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：． (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 【解析】（1）由已知及正弦定理可得， 整理得， 所以． 又，故． （2）由正弦定理可知， 又，，， 所以． 故， 所以， 故为直角三角形， 于是． 2．（2023·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 整理得， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2） 在中，因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. 3．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在中，D是边上的一点，，． (1)证明：； (2)若D为靠近B的三等分点，，，，为纯角，求． 【解析】（1）证明：在中，， 在中，, 由于,故， 所以. （2）因为，故，由为纯角，故为锐角， 又，且D为靠近B的三等分点，，， 故， 故, 故，则, 故. 4．（2023·广东湛江·统考一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若△ABC的面积为，，求a． 【解析】（1）， 所以，故． 由正弦定理得，又， 所以， 故， ，，所以，即，，故． （2），所以． 由余弦定理可得， 所以 5．（2023·广东广州·统考一模）记的内角、、的对边分别为、、.已知. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 【解析】（1）因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. （2）因为，由正弦定理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，，可得， 即，所以，，则，， 所以，，则为锐角，且， 因此，. 6．（2023·广东·联考模拟预测）已知中，内角的对边分别为，且，，． (1)求； (2)若与在同一个平面内，且，求的最大值． 【解析】（1）因为，，所以为锐角，则如图，过作边上的高，其中为垂足，在线段上， 因为，，所以为等腰直角三角形，则， 又，所以从可知，所以， 所以. （2）当取得最大值时，与分别位于两侧，此时设，则，则， 因此在中，由正弦定理得：， 所以， 因此由余弦定理得： ， 故当时，取得最大值，由此可得，因此的最大值为． 7．（2023·广东江门·统考一模）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）由条件得： ， 所以， 由正弦定理得：，所以. （2）及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以 由余弦定理得：，所以， 即，解得：， 又，所以. 又 ， 令，则， ， 所以在上递增，又，， 所以的取值范围是. 8．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求证：. (2)求的取值范围. 【解析】（1）在中， 由及正弦定理得： 又∵， ∴ 即 ， ∵，∴. ∵，∴， （2）得：得， ∴，∴， 由题意，及正弦定理得： ∵，∴，即 故的取值范围为 方法二：由正弦定理得： ∵，∴， 由（1）得：，故 由（1）得：得， ∴，∴， ∴，即， 故的取值范围为 9．（2023·广东梅州·统考一模）在中，内角的对边分别为，，，已知. (1)求内角； (2)点是边上的中点，已知，求面积的最大值. 【解析】（1）在中，因为， 由正弦定理得， 因为，所以，于是有， 所以，即， 因为，所以， 所以， 即. （2）因为点是边上的中点，所以， 对上式两边平分得：， 因为，所以，即， 而，有，所以，当且仅当时，等号成立. 因此. 即面积的最大值为. 10．（2023·广东深圳·统考一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设的中点为，若，且，求的的面积． 【解析】（1）由已知得，， 由正弦定理可得，， 因为， 所以, 代入上式，整理得， 又因为，， 所以， 即, 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）在中，由余弦定理得，． 而，，所以，① 在中，由余弦定理得，，② 由①②两式消去a，得， 所以， 又，解得，． 所以的面积． 11．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足. (1)求的值； (2)若，，求的周长. 【解析】（1）由为在方向上的投影向量，则，即， 根据正弦定理，， 在锐角中，，则，即， 由，则，整理可得，解得. （2）由，根据正弦定理，可得， 在中，，则，，， 由（1）可知，，则， 由，则，解得，， 根据正弦定理，可得，则，， 故的周长. 12．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，            条件②， 条件③． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知的内角、、所对的边分别为、、，