专题14 椭圆、双曲线、抛物线-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（广东专用）

专题14 椭圆、双曲线、抛物线 一、单选题 1．（2023·广东·统考一模）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 由，代入不等式中， 化简，得恒成立， 则有， 解得，而，所以 故选：A 2．（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：， 显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点， 由消去x得：，则有， 由得：，解得， 于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点， 显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 故选：A 3．（2023·广东湛江·统考一模）已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由题可知，直线l的斜率存在. 设直线的方程为，． 由得，故． 又，，所以． 圆的圆心为，半径， 所以，． 又，， 所以，， 所以. 故选：B． 4．（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为， 双曲线两条渐近线方向向下的夹角为， 根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为， 则，则， ， 则该双曲线的离心率为， 故选：D. 5．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据渐近线与直线垂直可得渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即， 因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去， 当双曲线的焦点在轴上时渐近线为，即，满足虚轴比实轴长， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：C． 二、多选题 6．（2023·广东·统考一模）已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（    ） A．若为△的中线，则 B．若为的角平分线，则 C．存在直线，使得 D．对于任意直线，都有 【答案】AD 【解析】由题意，设，不妨令都在第一象限，， 联立，则，且，即， 所以，则，如上图所示. A：若为△的中线，则， 所以，所以，故， 所以，则，故A正确； B：若为的角平分线，则， 作垂直准线于，则且， 所以，即，则， 将代入整理，得，则， 所以，故B错误； C：若，即，即△为等腰直角三角形， 此时，即，所以， 所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故C错误； D：，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确. 故选：AD. 7．（2023·广东湛江·统考一模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则双曲线C的离心率 【答案】AB 【解析】由，得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又有，化简即可得切线方程为， 所以，所以，故C错误； 由，得，又，所以，故A正确； 由，得， 故， 由，得 所以， 所以， 所以， 设点A到x轴的距离为h， 则， ， ， 又，所以，故B正确； 由上可得， 因为，则，得， ， 所以， 解得，故D错误， 故选:AB． 8．（2023·广东广州·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ） A．点的横坐标的取值范围是 B．的取值范围是 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】BC 【解析】设点，依题意，， 对于A，，当且仅当时取等号， 解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误； 对于B，，则， 显然，因此，B正确； 对于C，的面积，当且仅当时取等号， 当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得， 所以面积的最大值为，C正确； 对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误. 故选：BC 9．（2023·广东江门·统考一模）