7.3超几何分布（第2课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第7章 概率初步（续） 7.３超几何分布（第2课时） 1 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 学习目标 宋老师数学精品工作室 2 超几何分布 再看另外一个常见的概率模型． 例３ 设袋中装有大小与质地相同的６个白球、４个黑球．现在依次不放回地摸５个球，用 X 表示摸出的白球个数．求X的分布． 解 首先，因为所考虑的是白球的个数，与摸球的顺序无关，而且是不放回地摸球，所以从随机性的角度讲，依次摸出５个球和一次摸出５个球是一样的．其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的结果会影响后面摸球的结果，因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况． 所以，一般地说， 其中，K的取值范围由以下几个条件决定：取得的白球个数不能超过 n，也不能超过a；同时，取得的黑球个数不能超过b，即成立 因此，如果一袋中装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球，依次随机且不放回地取n个球，用 X 表示其中的白球数，那么 X 的分布可由下式给出： 定义 从一个装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球的袋中随机且不放回地取n个球，其中的白球数的分布称为超几何分布（ ｈｙｐｅｒ-ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ） 例４ 计算例３中X的期望． 解 我们将利用期望的性质来进行计算． 从装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球的袋子中不放回地随机取n个球，n不能超过总个数 a ＋ b．用 X 表示其中的白球个数．这可以想象成依次取球，用 X K 表示第K次取球的结果：如果是白球，X K＝１；如果是黑球，X K＝０．那么 本章７．１节中例４已经证明，抽签概率与顺序无关，所以 因此 从而 即X 的期望为取球的个数乘白球的比例．这与放回摸球情况下 取得白球个数的期望是一样的． 从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算，可以看出，虽然期望和方差是用分布来定义的，但是其计算过程实际上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性质即可． 二项分布和超几何分布的区别，实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别．当a ＋b 远大于 n 时，放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大，即二项分布与超几何分布之间差别不大． 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习７．３（２） １．盒子中有大小与质地相同的３个白球、１个黑球，若从中随机 地摸出２个球，求它们颜色不同的概率． ２．从放有６黑２白共８颗珠子的袋子中抓３颗珠子，分别求黑珠 颗数 X 与白珠颗数 Y 的分布、期望与方差． ３．从一副去掉大小王牌的５２张扑克牌中任取５张牌，求： （１）至少有一张黑桃的概率； （２）至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为： 解： 2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为： 解： 3．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列． 解　设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10. 故X的分布列为 4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数. (1) 求X的分布列与均值； (2) 求所选3人中至多有1名女生的概率. 解： (1) 由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为 所得金额的均值为 (2) 所选3人中至多有1名女生的概率为 15 P(X＝10)＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(1,45). X 2 6 10 P eq \f(28,45) eq \f(16,45) eq \f(1,45) P(X＝2)＝2,8)eq \f(C,Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(28,45)， P(X＝6)＝1,8)eq \f(CCeq \o\al(1,2),Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(16,45)， $