专题02 平面向量范围与最值问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题 【考点预测】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 例1．（2023·全国·高一专题练习）在平面内，若，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得 则 又由，得，则，即①. 又，得，则； 同理由，得，即有②. 由①②知，所以. 而，所以. 故选：D. 例2．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）已知向量，满足，，且，为任意向量，则的最小值为（    ） A．－2 B． C．－3 D． 【答案】B 【解析】由，，且，设向量，夹角为， 则，由，得， 在平面直角系中，取，，满足，，且， 设，则，， ， 所以当时，有最小值. 故选：B. 例3．（2023·全国·高一专题练习）在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在中，边的中点为D 由，可得： ， ，可得：， ， ，可得：，（当且仅当时等号成立） 则的最大值为4. 故选：D. 例4．（2023·全国·高一专题练习）等边的外接圆的半径为1，M是的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【解析】如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点， 、、三点共线，且， ，又， 当时，的最大值为． 故选：A． 例5．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______． 【答案】 【解析】如图所示，连接、和，因为且为的中点， 可得为平行四边形，所以， 设，其中， 因为，可得，， 在中，可得， 在中，可得， 又因为且，所以， 所以 ， 设， 根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为， 且在在上单调递减，在在上单调增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由，即函数的最大值为， 所以的取值范围. 故答案为：. 例6．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】依题意，过点作交的延长线于点， 因为，，所以，，， 所以，又因为点是的中点，所以是的中位线， 则，，所以， 因为点是边上的一点（包括端点）， 过点作于， 则， 结合图形可知：当点在点位置时，最小，最小为0， 此时； 当点在点位置时，最大，最大值与相等， 此时； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 例7．（2023春·河南·高一校联考阶段练习）在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 【答案】 【解析】取中点，连接，如图， 由可得，即， 所以三点共线且，即为的重心， 所以， 因为三点共线， 所以， 又，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故答案为： 例8．（2023·高一单元测试）中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________. 【答案】6 【解析】中，，是外接圆圆心，如图所示： 则，又因为， 所以，即外接圆的半径. ，，即. 故得， 因为、不重合，所以向量与的夹角范围为， 所以， 所以，即为的中点时， 取得最大值为. 故答案为： 例9．（2023春·全国·高一专题练习）在中，CA＝CB＝1，，若CM与线段AB交于点P，且满足，（,），且，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】如图所示： 设，，因为，CB＝1，则， ，，设，则， 因为，所以， 因为，则， 所以有， 即，即， 又（,）， 所以， 解得，当且仅当时不等式取等号. 则的最大值为2. 故答案为：2 例10．（2023·全国·高一专题练习）已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点． (1)若，求△PAB的面积；