专题01 平面向量的基本运算与线性表示-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【考点预测】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 例1．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）在平行四边形中，为的重心，，则（      ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【解析】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，, 可得, 故选：C 例2．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）己知向量，不共线，向量，且，则的值为（      ） A．1 B． C．±1 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，不共线，且， 所以，即，， 所以，解得或. 故选：C 例3．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（      ）． A．22 B．24 C．20 D．18 【答案】A 【解析】因为，， 所以 ， 因为，，所以， 因为直角梯形ABCD，所以，故， 所以原等式 . 故选：A 例4．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知等边三角形内接于为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】CD选项，因为是等边三角形的外接圆，所以，且为的中点， 因为为线段的中点，所以， 所以，CD错误； AB选项， ，A正确，B错误； 故选：A 例5．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】若三点共线，，则， 理由如下： 因为三点共线，则有，即， 即，故，故， 其中， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 例6．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当与方向相同时， C．与角为钝角时，则t的取值范围为 D．当时，在上的投影向量为 【答案】D 【解析】对选项A，当，有，解得，所以A错误； 对选项B，当时，，解得， 当时，，，即，与方向相反，故B错误. 对选项C，当时，与方向相反， 当，解得， 所以与角为钝角，则，且，故C错误； 对选项D，有时，， 所以在上的投影向量为， 故D正确. 故选：D 例7．（2023春·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，在上投影向量为，其中，