2023年上海春季高考数学试题

2023年全国普通高等学校春季招生统一考试 上海数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1 已知集合，，且，则___________. 2. 已知向量，，则___________. 3. 若不等式，则实数x的取值范围为___________. 4. 已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为___________. 5. 已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率___________. 6. 已知正实数a、b满足，则的最大值为___________. 7. 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186，最小值为154，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为___________. 8. 设，则___________. 9. 已知函数，且，则方程的解为___________. 10. 已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为___________. 11. 设，且，满足，则的取值范围为___________. 12. 已知空间向量，，都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，则的最大值为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分. 13. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图所示，下面是出口，上面是进口，哪个进出口贸易总额不对（ ） A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大 B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大 C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大 D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小 15. 如图，P是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列； B. ，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列； C. ，，，…，为等差数列，，，…，为等比数列； D. ，，，…，为等比数列，，，…，为等差数列. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知三棱锥中，平面，，，，M为中点，过点M分别作平行于平面的直线交、于点E，F. （1）求直线与平面所成角大小； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 18. 在中，角A，B，C对应边为a，b，c，其中. （1）若，且，求边长c； （2）若，，求的面积. 19. 已知S为正比例系数，定义：，为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）. （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，求该建筑体的S（用R，H表示）； （2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长.已知f为正比例系数，与A成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为T.已知该建筑体推导得出，n为层数，层高为3米，其中，，试求当取第几层时，该建筑体S最小？ 20 已知椭圆：（，） （1）若，求椭圆离心率； （2）设，为椭圆的左右顶点，若椭圆上一点E的纵坐标为1，且，求m的值： （3）若P为椭圆上一点，过点P作一条斜率为的直线与双曲线仅有一个公共点，求m的取值范围. 21. 设函数，，其中，k，，若任意均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对于所有满足条件的函数在x处取得的最小值记为. （1）若，，试问是否为的“控制函数”： （2）若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在（）处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，. 2023年全国普通高等学校春季招生统一考试 上海数学试卷 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题